57. Alarme veicular eletromagnético. A sua mais recente invenção é um alarme para carros que produz um som a uma frequência particularmente perturbadora de 3500   H z . Para fazer isso, o circuito desse alarme deve produzir uma corrente elétrica alternada com a mesma frequência. Por esse motivo, seu projeto inclui um indutor e um capacitor em série. A voltagem máxima através do capacitor deve ser de 12,0   V (a mesma voltagem da bateria do carro). Para produzir um som suficientemente alto, o capacitor de armazenar 0,0160   J de energia. Quais valores de capacitância e indutância você deve escolher para o circuito do seu alarme para carros?

Passo 1

Em uma parte do problema o enunciado já foi bem legal com a gente.

Porque uma das coisas que ele quer é a capacitância do capacitor, sendo que ele já nos deu a energia armazenada no capacitor e a voltagem entre as placas, então basta usar a fórmula de energia do capacitor dada por:

U C = 1 2 C V 2

Então basta isolar a capacitância C e substituir os valores que temos.

Agora para achar a indutância, vamos ter que trabalhar mais um pouco.

O enunciado nos deu a frequência do barulho do alarme e ele fala que a corrente do circuito deve ter a mesma frequência.

O livro nos dá uma fórmula onde podemos achar a frequência angular da corrente em um circuito desse tipo, a fórmula é a seguinte:

ω = 1 L C

E lembrando de uma relação bastante conhecida que relaciona frequência e frequência angular.

ω = 2 π f

Então ficamos com:

2 π f = 1 L C

Com essa nova expressão conseguimos achar a frequência da corrente no circuito, então basta colocar o valor de f que queremos e isolar L para achar seu valor.

Passo 2

Vamos primeiro achar o valor da capacitância, temos que:

U C = 1 2 C V 2

Isolando C , temos:

C = 2 U C V 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

C = 2 ( 0,016 ) 12 2

= 0,032 114

Então temos que:

C = 0,000222   F

Ou de uma forma mais bonitinha:

C = 222 ⋅ 10 - 6   F

Passo 3

Agora vamos achar a indutância, temos que:

2 π f = 1 L C

Vamos primeiro isolar L , temos:

L = 1 4 π 2 f 2 C

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

L = 1 4 π 2 3500 2 ( 222 ⋅ 10 - 6 )

= 1 107361,56

Então temos que:

L = 9,31 ⋅ 10 - 6   H

Resposta

C = 222 ⋅ 10 - 6   F

L = 9,31 ⋅ 10 - 6   H

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