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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 32.Problemas desafioadores - Ex. 57

57- Ondas eletromagnéticas são produzidas por cargas aceleradas. A taxa da emissão de energia de uma partícula com carga q e aceleração a é dada por

d E d t = q 2 a 2 6 π ϵ 0 c 3

Em que c é a velocidade da luz.

( a ) Verifique se essa equação está dimensionalmente correta.

( b ) Sabendo que um próton se desloca em um acelerador de partícula com energia cinética de 6.0   M e V , percorrendo uma órbita circular de raio igual a 0.750   m , qual é a fração de sua energia que ele irradia por segundo?

( c ) Considere agora um elétron se deslocando nessa órbita com o mesmo raio e com a mesma velocidade. Qual é a fração de sua energia que ele irradia por segundo?

Passo 1

Se é para verificar dimensionalmente a fórmula é por que temos que fazer análise dimensional da fórmula toda e para isso devemos saber que:

q = C

a = m / s 2

c = m / s

ϵ 0 = C 2 / N m 2

E que:

E t = J s = N m s = W

Não confundir esse E de energia com E de campo magnético!

Então:

d E d t = q 2 a 2 6 π ϵ 0 c 3

J s = C 2   m s 2 2 C 2 N m 2 × m s 3

J s = m 2 s 4 m N s 3 = N m s = J s

Então dimensionalmente a expressão está correta!

Passo 2

Pelo apêndice F na quinta edição vemos que a massa do próton é de :

m p = 1.67 × 10 - 27   k g

Esse dado será importante para calcularmos a aceleração dessa partícula, que é o único dado que falta na conta. Então a aceleração desse próton ao percorrer um círculo de raio igual a 0.750 será de:

a c p = v 2 R

Onde a velocidade será (pela energia cinética )igual a:

E c = 1 2   m v 2 → v 2 = 2 E c m

Onde E c = 2 × 6 × 10 6 × 1.6 × 10 - 19   J , pois e = 1.6 × 10 - 19   C que é a carga do próton.

v 2 = 2 × 6 × 10 6 × 1.6 × 10 - 19 1.67 × 10 - 27 = 1.15 × 10 15   m / s

Então a aceleração será:

a = v 2 R = 1.15 × 10 15 0.75 = 1.53 × 10 15   m / s 2

Passo 3

Substituindo esse valor de aceleração na fórmula de d E / d t nós temos:

d E d t = 1.6 × 10 - 19 2 × 1.53 × 10 15 2 6 π × 8.84 × 10 - 12 × 3 × 10 8 3 = 1.33 × 10 - 23 J s = 8.325 × 10 - 5   e V / s

Basta dividir o resultado de unidade J / s por 1.6 × 10 - 19   para encontrar o resultado em e V / s

Então a fração de energia irradiada por segundo será de:

d E d t × 1 s E = 8.325 × 10 - 5 e V 6 × 10 6   e V = 1.38 × 10 - 11 .

Passo 4

Agora na letra c, temos um elétron se deslocando da mesma forma que o próton da letra b , a diferença é que a energia cinética do elétron não será a mesma que no próton, por uma diferença de massa. A massa do elétron é igual a:

m e = 9.11 × 10 - 31

Então:

E e l = m e v 2 R ;       E p = m p v 2 R

Dessa forma vemos que:

E e l m e = E p m p → E e l = m e m p   E p

Onda a energia no elétron E e l será:

E e l = 9.11 × 10 - 31 1.67 × 10 - 27 × 6 × 10 6   e V = 3.27 × 10 3   e V

Porém a carga do elétron é a mesma que no próton e a aceleração é a mesma também , então d E / d t é igual logo a fração de energia irradia por segundo no elétron será igual a:

8.325 × 10 - 5 3.27 × 10 3 = 2.54 × 10 - 8

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   1.38 × 10 - 11

c )   2.54 × 10 - 8

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