Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas desafioadores - Ex. 76
76. Considere o circuito indicado na Figura . Os elementos do circuito possuem os valores , , e . A chave é fechada para . A corrente passa através do indutor, a corrente , passa através do capacitor e a carga no capacitor é igual a . Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, verifique as seguintes equações:
Quais eram os valores iniciais de e ? Por meio de substituição direta nas equações do item , mostre que e satisfazem essas equações. Mostre que elas também satisfazem as condições iniciais
Em que e . Determine o tempo para o qual torna-se igual a zero pela primeira vez.
Passo 1
Antes de começarmos a resolver tenho que apontar um errinho no enunciado, é a falta de colchetes para indicar que a exponencial está multiplicando os termos do seno e do cosseno na condição inicial de , então a equação fica da seguinte maneira:
Pronto, agora podemos continuar.
Para resolver o item o enunciado já nos fala o que fazer, que é usar a lei das malhas. Mas nossa corrente toma dois caminhos diferentes.
Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.
Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor e em um indutor e em um capacitor é dada respectivamente por:
Com isso vamos encontrar as expressões mostradas no item .
Agora para o item , vamos pensar no seguinte, no instante inicial quando a chave acaba de ser fechada o indutor funciona como uma interrupção no circuito, logo não temos corrente passando por ele, o capacitor não teve como se carregar e ele age como se fosse um fio, então é a mesma corrente eu em outra parte do circuito.
Tendo os valores de e , basta substituir eles nas equações da lei das malhas e nas condições iniciais e ver se os valores batem. Com isso resolvemos o item
Para o item temos que achar que faça com que seja zero, logo é só usar a equação das condições iniciais para e ir manipulando essa equação até achar o valor de .
A equação inicial para é igual a de a não ser pelo fator que temos em e por um sinal negativo que em vez de ser na exponencial é somente no termo do seno, assim:
Eu falo isso porque as correntes e ficam oscilando seus valores de forma igual por conta da combinação do indutor e do capacitor, sendo que é igual a zero inicialmente.
Passo 2
Vamos primeiro fazer o que é pedido em , vamos aplicar inicialmente a lei das malhas para o caminho da corrente , temos:
Partiu fazer isso para , temos:
Passo 3
Agora, como foi dito no passo o indutor funciona como uma interrupção no circuito, logo não vai passar corrente por ele nesse instante, assim
O capacitor nesse primeiro instante não teve nem tempo de respirar direito, então como ele vai ter tido tempo de conseguir carga, logo .
Como o capacitor não tem carga ele não apresenta diferença de potencial, então ele não está fazendo nada ali, só como um caminho mesmo, então tem o mesmo valor que a corrente que passa pelo resistor por exemplo.
E sabemos achar a corrente no resistor, já que:
Então temos que:
Passo 4
Agora que temos os valores de e vamos partir para o item , vamos substituir nas equações do item e ver se elas fazem sentido, temos:
Substituindo e , temos:
Agora a outra equação, temos:
Substituindo , e , temos:
Passo 5
Agora continuando no item , mas agora vamos provar as condições iniciais, primeiro vamos fazer para , temos:
Fazendo , temos:
Então temos que:
Que bate com o que encontramos
Passo 6
Agora vamos encontrar quando zera pela primeira vez, para isso vamos a equação que comentei no passo , temos:
Mas antes vamos achar o valor de . Temos que:
Substituindo os valores dados pelo enunciado, temos:
Então temos que:
Agora vamos substituir esse termo que encontramos e o fato de queremos , na equação para , mas antes disso, vamos deixá-la com uma cara melhor, temos:
Queremos que isso seja igual a zero, então:
Mas para que isso seja verdade, basta que:
Agora sim vamos substituir o que sabemos, temos que:
Resposta
Tudo foi verificado e os resultados bateram