79. Considere o circuito indicado na Figura . A chave é fechada para , produzindo uma corrente que passa através do ramo do indutor e uma corrente que passa através do ramo do capacitor. A carga inicial do capacitor é igual a zero e a carga no instante é igual a . Deduza expressões para e em função do tempo. Expresse as respostas em termos de e . Para o restante deste problema, use os seguintes valores para os elementos do circuito: e . Qual é a corrente inicial que passa através do ramo do indutor? Qual é a corrente inicial que passa por meio do ramo do capacitor? Quais são as correntes que passam através do ramo do indutor e do ramo do capacitor um longo tempo depois de a chave ser fechada? Qual é a duração desse ‘longo tempo’? Explique. Para qual tempo (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente torna-se igual a ? (Sugestão: você deve considerar o desenvolvimento em série da função exponencial.) Calcule para as condições especificadas em no item . A corrente total através da bateria é . Para qual tempo (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente torna-se igual à metade de seu valor final? (Sugestão: o cálculo numérico pode ser simplificado se você fizer aproximações adequadas. Um desenho de e de em função de pode ajudar a decidir qual é a aproximação válida.)

Vamos começar com o item .

Quando a chave é fechada a corrente que vem da fem toma dois caminhos diferentes, um caminho é pelo indutor e outro pelo capacitor .

Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.

Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor, em um indutor e um capacitor é dada respectivamente por:

Vamos analisar o primeiro caminho, feito por , temos:

Isolando , temos:

Jogando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro, temos:

Integrando os dois lados, ficamos com:

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

Vamos para o segundo caminho, feito por , temos:

Mas corrente pode ser definida como variação de carga por tempo, ou melhor , então podemos escrever nossa expressão da seguinte forma:

Isolando , temos:

Jogando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro, temos:

Integrando os dois lados, ficamos com:

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

Agora que temos fica fácil encontrar , já que:

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item .

Agora partiu resolver o item .

Para encontrar essas correntes iniciais pedidas em , basta pegar as fórmulas que acabamos de encontrar para e e fazer .

Então vamos começar para , temos:

Fazendo , temos:

Agora para temos que:

Fazendo , temos:

Usando os valores conhecidos, temos:

Agora partiu item .

Esse tempo longo tempo mencionado no enunciado, pode ser interpretado como , a duração desse tempo muito longo também pode ser interpretada como varias constantes de tempo depois.

O que temos que fazer é ver como as fórmulas que encontramos no item se comportam quando vai para o infinito.

A fórmula dada por:

Então vamos fazer .

O argumento da exponencial quando vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

Quando temos que , logo:

Então fica da seguinte forma:

Usando os valores conhecidos, temos:

Agora para temos a seguinte fórmula:

Então vamos fazer .

O argumento da exponencial quando vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

Quando temos que , logo:

Então fica da seguinte forma:

Vamos em direção a resolução do item .

O item pede o tempo para que , então vamos igualar as fórmulas dessas duas correntes, temos:

Igualando essas duas expressões temos:

Agora usando a expansão da exponencial até o termo de primeira ordem, dada por:

Nossa expressão fica da seguinte forma:

De uma forma mais simplificada temos:

Isolando , temos:

Substituindo os valores que temos ficamos com:

Então temos que:

Concluímos o item .

Vamos em direção a resolução do item .

Bem dizer esse item quer o valor de para o que encontramos no item . Então para achar basta substituir esse valor de encontrada na fórmula que temos para .

Temos:

Substituindo todos valores que conhecemos, ficamos com:

Então temos que:

Agora finalmente chegamos no último item, o item .

E esse item quer o valor de para quando temos metade da corrente final, mas qual o valor da corrente final?

Se você lembrar, nós já calculamos essa corrente meio que sem querer no item , quando achamos os valores de e depois de um longo tempo, então como temos:

Temos que o final é:

Então metade dessa corrente é:

Agora vamos pegar a fórmula , dada por:

Isolar e ver o valor que achamos quando fazemos . Vamos lá!

Aplicando nos dois lados, temos:

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

Então temos que: