Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 57
57. Você pretende usar um microscópio eletrônico para estudar a estrutura de alguns cristais. Para uma resolução acurada, você deseja que o comprimento de onda do elétron seja . Esses elétrons são relativísticos? Como você sabe disso? Qual é o potencial de aceleração necessário? Qual é a energia cinética dos elétrons que você está usando? Para verificar se a energia é grande a ponto de danificar os cristais que você está estudando,
compare-a com a energia potencial de uma molécula de , que é cerca de . Se você decidiu usar ondas eletromagnéticas em seu estudo, que energia os seus fótons devem ter para fornecer a mesma resolução que os elétrons? Essa energia danificaria o cristal?
Passo 1
Para saber se os elétrons são relativísticos, temos que saber se suas velocidades são próximas da velocidade da luz.
Para encontrar essa velocidade vamos usar o comprimento de onda de De Broglie dado por:
Então basta isolar e calculá-lo.
Para achar o potencial de aceleração vamos usar a conservação de energia, onde inicialmente só teríamos energia potencial elétrica e depois só energia cinética, assim:
Onde é a carga do elétron e a massa do elétron .
Para encontrar a energia cinética pedida em podemos usar a observação que fizemos para de que:
Onde para podemos usar o resultado de .
E por último para encontrar a energia do fóton pedida em podemos usar a equação que fornece a energia de um fóton dada por:
Onde para teremos o mesmo valor que o comprimento de onda do elétron.
Passo 2
Vamos lá então galera vamos encontrar a velocidade do elétron, temos que:
Isolando , temos:
Substituindo o que sabemos, temos:
Então temos que:
Essa velocidade é pequena comparada com a da luz, logo nossos elétrons não são relativísticos.
Passo 3
Agora vamos encontrara o potencial de aceleração pedido em , temos o seguinte:
Substituindo os valores que sabemos, temos:
Assim:
Passo 4
Agora vamos encontrar a energia cinética pedida em , assim:
Substituindo os valores que temos, ficamos com:
Então como temos a carga de um elétron vezes uma voltagem, então podemos expressar nosso resultado como elétrons-volts, assim:
Segundo o enunciado temos que a energia potencial da molécula de é , assim a energia cinética do elétron não é suficiente para danificar o cristal de .
Passo 5
Agora vamos encontrar a energia do fóton e ver se ele danificaria o cristal.
Para facilitar nossa vida vamos tomar o seguinte valor de .
Com isso nosso resultado já vem em para compararmos com a energia potencial da molécula de e vê se danificaria o cristal.
Temos:
Substituindo os valores, temos:
Assim, temos que:
Com uma energia dessas o cristal seria danificado.
Resposta
Essa velocidade é pequena comparada com a da luz, logo nossos elétrons não são relativísticos.
Segundo o enunciado temos que a energia potencial da molécula de é , assim a energia cinética do elétron não é suficiente para danificar o cristal de .
Com uma energia dessas o cristal seria danificado.