Enunciado

55. Na discussão sobre os elétrons livres feita na Seção 42 . 5 , imaginamos que seria possível desprezar os efeitos da relatividade. Contudo, essa hipótese não é correta quando a energia de Fermi é maior do que 1 100 m c 2 (ou seja, quando ela é maior do que 1 % da energia de repouso do elétron). a ) Suponha que a energia de Fermi no zero absoluto, como indicado na Equação ( 42 . 20 ) , seja igual a 1 100 m c 2 . Mostre que a concentração de elétrons é

N V = 2 3 / 2 m 3 c 3 3000 π 2 ℏ 3

e determine o valor numérico de N / V . b ) É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade em um metal como o cobre, cuja concentração de elétrons é igual a 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 ? Explique. c ) Uma anã branca é oriunda dos restos de uma estrela tal como o Sol depois que esta cessou completamente a produção de energia pelas reações nucleares. (O Sol se transformará em uma anã branca depois de brilhar por mais 6 ⋅ 10 9 anos, aproximadamente.) Uma anã branca típica possui massa igual a 2 ⋅ 10 30 k g (comparável com

a massa solar) e um raio igual a 6000   k m (comparável com o raio da Terra). A atração gravitacional entre as camadas da anã branca tende a comprimir a estrela, O que impede a compressão é a pressão dos elétrons livres do interior da estrela (veja o Problema 42.53 .) Estime a concentração de elétrons no interior de uma anã branca típica usando as seguintes hipóteses: i ) a estrela toda é feita de carbono, que possui massa por átomo igual a 1,99 ⋅ 10 - 26   k g ; i i ) todos os seis átomos do carbono podem se mover livremente através da estrela. d ) É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade na estrutura de uma anã branca? Explique.

Passo 1

Fala meus consagrados, vamos começar a resolver esse problema.

Para o item ( a ) precisamos pegar a equação para a energia de Fermi e igualar com 1 100 m c 2 e isolar a razão N / V e depois substituir os valo0res que conhecemos para achar o valor dessa razão.

Para responder o item ( b ) teremos que comparar o resultado de ( a ) com o fornecido em ( b ) e avaliar se a razão é muito grande ou pequena.

O item ( c ) quer que encontremos a concentração de elétrons na anã branca, logo ele quer saber o valor da razão N e / V .

O volume V é o volume da anã branca (uma esfera), podemos encontrar usando a seguinte equação:

V = 4 3 π r 3

O número de elétrons pode ser encontrado dividindo a massa do átomo de carbono por 6 já que temos 6 elétrons em cada átomo.

Tendo esse resultado dividimos a massa da anã branca por ele e assim encontramos o número de elétrons na estrela.

Para responder o item ( d ) teremos que comparar o resultado de ( a ) com o encontramos em ( c ) e avaliar se a razão é muito grande ou pequena.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , como discutimos no passo 1 , temos o seguinte:

3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 2 m N V 2 / 3 = 1 100 m c 2

Agora vamos isolar N / V , temos:

N V 2 / 3 = m 2 c 2 ( 50 ) 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2

⇒ N V = m 2 c 2 ( 50 ) 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 3 / 2

Pronto, uma parte do item ( a ) tá feito, agora falta achar o valor dessa razão, substituindo os valores que conhecemos, temos:

N V = ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 ( 50 ) 3 2 / 3 π 4 / 3 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2 3 / 2

= 746,76 ⋅ 10 - 46 531,62 ⋅ 10 - 68 3 / 2

Então temos que:

N V = 1,404 ⋅ 10 22 3 / 2

= 1,66 ⋅ 10 33   m - 3

Passo 3

Agora vamos fazer a razão entre a concentração de elétrons fornecida pelo enunciado e pelo resultado que encontramos no passo anterior, assim:

8 , 45 ⋅ 10 28 1,66 ⋅ 10 33 = 5,09 ⋅ 10 - 5

Como podemos ver a concentração real de elétrons no cobre é 10 - 5 vezes menor que a concentração que consideramos os efeitos relativísticos, logo podemos ignorar os efeitos relativísticos.

Passo 4

Para o item c vamos fazer o processo que comentei com vocês no passo 1 , temos:

N e = 2 ⋅ 10 30 ( 1,99 ⋅ 10 - 26 ) / 6

= 2 ⋅ 10 30 0,33 ⋅ 10 - 26

Então temos que:

N e = 6,06 ⋅ 10 56

Agora calculando a razão N e / V temos:

N e V = N e 4 3 π r 3

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

N e V = ( 6,06 ⋅ 10 56 ) 4 3 π ( 6000 ⋅ 10 3 ) 3

= 6,06 ⋅ 10 56 9,05 ⋅ 10 20

Então temos que:

N e V = 6,7 ⋅ 10 35   m - 3

Passo 5

Agora vamos fazer a razão entre a concentração de elétrons que encontramos em ( a ) pelo resultado que encontramos no passo anterior, assim:

6,7 ⋅ 10 35 1,66 ⋅ 10 33 = 403,6

Como podemos ver a razão entre essas duas concentrações não é tão desprezível assim, logo não podemos ignorar os efeitos relativísticos.

Resposta

( a )

N V = 1,66 ⋅ 10 33   m - 3

( b )

A concentração real de elétrons no cobre é 10 - 5 vezes menor que a concentração que consideramos os efeitos relativísticos, logo podemos ignorar os efeitos relativísticos.

( c )

N e V = 6,7 ⋅ 10 35   m - 3

( d )

A razão entre essas duas concentrações não é tão desprezível assim, logo não podemos ignorar os efeitos relativísticos.

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