Enunciado
Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 55
55. Na discussão sobre os elétrons livres feita na Seção , imaginamos que seria possível desprezar os efeitos da relatividade. Contudo, essa hipótese não é correta quando a energia de Fermi é maior do que (ou seja, quando ela é maior do que da energia de repouso do elétron). Suponha que a energia de Fermi no zero absoluto, como indicado na Equação , seja igual a . Mostre que a concentração de elétrons é
e determine o valor numérico de . É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade em um metal como o cobre, cuja concentração de elétrons é igual a ? Explique. Uma anã branca é oriunda dos restos de uma estrela tal como o Sol depois que esta cessou completamente a produção de energia pelas reações nucleares. (O Sol se transformará em uma anã branca depois de brilhar por mais anos, aproximadamente.) Uma anã branca típica possui massa igual a (comparável com
a massa solar) e um raio igual a (comparável com o raio da Terra). A atração gravitacional entre as camadas da anã branca tende a comprimir a estrela, O que impede a compressão é a pressão dos elétrons livres do interior da estrela (veja o Problema .) Estime a concentração de elétrons no interior de uma anã branca típica usando as seguintes hipóteses: a estrela toda é feita de carbono, que possui massa por átomo igual a ; todos os seis átomos do carbono podem se mover livremente através da estrela. É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade na estrutura de uma anã branca? Explique.
Passo 1
Fala meus consagrados, vamos começar a resolver esse problema.
Para o item precisamos pegar a equação para a energia de Fermi e igualar com e isolar a razão e depois substituir os valo0res que conhecemos para achar o valor dessa razão.
Para responder o item teremos que comparar o resultado de com o fornecido em e avaliar se a razão é muito grande ou pequena.
O item quer que encontremos a concentração de elétrons na anã branca, logo ele quer saber o valor da razão .
O volume é o volume da anã branca (uma esfera), podemos encontrar usando a seguinte equação:
O número de elétrons pode ser encontrado dividindo a massa do átomo de carbono por já que temos elétrons em cada átomo.
Tendo esse resultado dividimos a massa da anã branca por ele e assim encontramos o número de elétrons na estrela.
Para responder o item teremos que comparar o resultado de com o encontramos em e avaliar se a razão é muito grande ou pequena.
Passo 2
Vamos começar com o item , como discutimos no passo , temos o seguinte:
Agora vamos isolar , temos:
Pronto, uma parte do item tá feito, agora falta achar o valor dessa razão, substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos fazer a razão entre a concentração de elétrons fornecida pelo enunciado e pelo resultado que encontramos no passo anterior, assim:
Como podemos ver a concentração real de elétrons no cobre é vezes menor que a concentração que consideramos os efeitos relativísticos, logo podemos ignorar os efeitos relativísticos.
Passo 4
Para o item vamos fazer o processo que comentei com vocês no passo , temos:
Então temos que:
Agora calculando a razão temos:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Passo 5
Agora vamos fazer a razão entre a concentração de elétrons que encontramos em pelo resultado que encontramos no passo anterior, assim:
Como podemos ver a razão entre essas duas concentrações não é tão desprezível assim, logo não podemos ignorar os efeitos relativísticos.
Resposta
A concentração real de elétrons no cobre é vezes menor que a concentração que consideramos os efeitos relativísticos, logo podemos ignorar os efeitos relativísticos.
A razão entre essas duas concentrações não é tão desprezível assim, logo não podemos ignorar os efeitos relativísticos.