59. Os prótons, os nêutrons e muitas outras partículas são constituídos por partículas fundamentais chamadas quarks e antiquarks (a antimatéria dos quarks). Os quarks e os antiquarks podem formar estados ligados com uma variedade de níveis de energia diferentes,

cada um dos quais corresponde a uma partícula diferente que pode ser observada em laboratório. Como um exemplo, a partícula é uma partícula correspondente ao estado ligado de mais baixa energia do chamado quark charm e de seu antiquark, com uma energia de repouso igual a ; a partícula é outro estado excitado dessa mesma combinação quark-antiquark, com uma energia de repouso igual a . Uma representação simplificada da energia potencial da interação entre um quark e um antiquark é dada por , onde é uma constante positiva e representa a distância entre o quark e o antiquark. Você pode usar a aproximação WKB (Problema desafiador ) para determinar as energias dos estados ligados para essa função energia potencial. Na aproximação WKB, os níveis de energia são obtidos pelas soluções da equação

onde é a energia, é a função energia potencial e e são os dois pontos clássicos de inversão (os pontos em que é igual à energia potencial, de modo que a energia cinética newtoniana é igual a zero). Determine os pontos de inversão clássicos para a energia e para a energia potencial . Calcule a integral anterior e mostre que os níveis de energia na aproximação WKB são dados por

(Sugestão: a integral é par, de modo que a integral de até é igual ao dobro da integral de até .) A diferença de energia entre dois níveis adjacentes aumenta, diminui ou permanece constante à medida que o número aumenta? Como esse resultado se compara com os níveis de energia do oscilador harmônico? E com os níveis de energia de uma partícula em uma caixa? Você é capaz de sugerir alguma regra simples que relacione as diferenças de

energia entre dois níveis adjacentes sucessivos com a forma da função energia potencial?

Vamos lá então, vamos começar com item ,temos o seguinte:

Agora isolando temos:

Agora vamos calcular a integral pedida em , temos o seguinte:

Fazendo , e sabendo que , ficamos com:

Lembrando que a função que está sendo integrada é par, então:

Agora para resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição, temos:

Nossos limites de integração ficam da seguinte forma com essa substituição.

Então nossa integral fica da seguinte forma;

Então temos que;

Isolando temos que:

Finalmente encontramos que:

Agora vamos para o item , vamos analisar a diferença entre níveis de energia consecutivos, temos o seguinte:

Como o termo que multiplica é constante ele não contribui para diferença de energia o importante é o .

Primeiro vamos fazer a diferença de energia para e , temos:

Agora para e , assim:

Agora entre e , assim:

Como podemos ver a diferença de energia vai diminuindo conforme o aumenta.

A diferença de energia de um oscilador harmônico continua a mesma com o aumento de e a do poço infinito aumenta conforme aumenta.

Uma regra básica que otimiza tudo é que se o grau da energia potencial for maior que a diferença de energia aumenta com o e se o grau for menor que a diferença de energia diminui com o aumento de .