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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 36.Problemas - Ex. 53

53. Considere uma figura de difração de fenda única. O centro do máximo central, cuja intensidade é igual a I 0 está localizado em θ = 0 . a ) Designe por θ + e θ - os dois ângulos de cada lado de θ = 0 para os quais I = 1 2 I 0 . A diferença Δ θ = θ + - θ - denomina-se largura

completa na metade do máximo da franja central brilhante da difração. Determine Δ θ quando a razão entre a largura da fenda a e o comprimento de onda λ é i )   a / λ = 2 , i i )   a / λ = 5 , i i i )   a / λ = 10 . (Sugestão: sua equação para θ + e θ - não pode ser resolvida analiticamente. Você poderá usar o método das tentativas ou resolvê-la graficamente.) b ) A largura do máximo central pode ser definida de modo alternativo como 2 θ 0 , onde θ 0 é o ângulo referente a cada mínimo ao lado do máximo central. Calcule 2 θ 0 , para cada um dos casos do item ( a ) e compare com Δ θ .

Passo 1

Vamos lá então galera. Vocês concordam comigo que a figura de difração é simétrica? Então tudo que temos para um lado temos para o outro, assim:

Δ θ = θ + - θ - = 2 θ +

Então temos que encontrar pelo menos θ + para cada caso e então achamos Δ θ .

O enunciado quer esse Δ θ para a situação que:

I = 1 2 I 0

A equação da intensidade é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2

Então na realidade queremos que:

sen ⁡ β / 2 β / 2 2 = 1 2

⇒ sen ⁡ β / 2 β / 2 = 1 2 = 0,7071

Para facilitar nossa vida vamos fazer assim β / 2 = x , então:

sen ⁡ x x = 0,7071

Então temos que achar um valor de x para que essa igualdade seja verdadeira. A sugestão dada no enunciado é justamente por conta disso, se ficarmos na tentativa e erro, vamos encontrar que:

x = 1,39   r a d

Agora temos tudo do que precisamos para o item ( a ) , basta lembrar que:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

Agora para o item ( b ) temos que usar a equação que nos fornece o ângulo de franjas escuras ou mínimo para fenda única, pois esse ângulo é o θ 0 que o enunciado diz então achando ele só temos que fazer 2 θ 0 e chegamos no resultado do item ( b ) para cada caso.

A equação que falei acima é:

a sen ⁡ θ 0 = m λ

Onde m = 1 já que queremos as primeiras franjas escuras.

Passo 2

Vamos começar a fazer o item ( a ) , temos o seguinte:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ +

⇒ sen ⁡ θ + = λ a β 2 π

Onde temos que β = 2 x = 2,78   r a d , assim ficamos com:

sen ⁡ θ + = 0,4425 λ a

Agora é só fazermos cada caso que o item ( a ) quer.

Passo 3

Vamos então pessoal, temos o seguinte.

Para i →   a / λ = 2 , temos:

sen ⁡ θ + = 0,4425 1 2

⇒ sen ⁡ θ + = 0,22125

⇒ θ + = 12,78 °

Logo:

Δ θ = 25,6 °

Para i i →   a / λ = 5 , temos:

sen ⁡ θ + = 0,4425 1 5

⇒ sen ⁡ θ + = 0 , 0885

⇒ θ + = 5,077 °

Logo:

Δ θ = 10 , 2 °

Para i i i →   a / λ = 10 , temos:

sen ⁡ θ + = 0,4425 1 10

⇒ sen ⁡ θ + = 0,0 4425

⇒ θ + = 2,536 °

Logo:

Δ θ = 5,1 °

Passo 4

Agora para o item ( b ) temos o seguinte.

a sen ⁡ θ 0 = m λ

⇒ sen ⁡ θ 0 = λ a

Agora é só fazermos cada caso que o item ( b ) quer.

Para i →   a / λ = 2 , temos:

sen ⁡ θ 0 = 1 2

⇒ θ 0 = 30 °

Logo:

2 θ 0 = 60 °

Para i i →   a / λ = 5 , temos:

sen ⁡ θ 0 = 1 5

⇒ θ 0 = 11,54 °

Logo:

2 θ 0 = 23,1 °

Para i i i →   a / λ = 10 , temos:

sen ⁡ θ 0 = 1 10

⇒ θ 0 = 5 , 7 4 °

Logo:

2 θ 0 = 11,5 °

Resposta

( a )

Para ( i ) :

Δ θ = 25,6 °

Para ( i i ) :

Δ θ = 10,2 °

Para ( i i i ) :

Δ θ = 5,1 °

( b )

Para ( i ) :

2 θ 0 = 60 °

Para ( i i ) :

2 θ 0 = 23,1 °

Para ( i i i ) :

2 θ 0 = 11,5 °

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