64 . Uma colega sua estava fazendo medições de um solenoide conectado a uma fonte de tensão c a . Infelizmente, ela saiu de férias antes de concluir a análise, e seu chefe lhe pediu para terminar. Você possui um gráfico de 1 / I 2 em função de ω 2 (Figura P 31.64 ), onde I é a corrente no circuito e ω é a frequência angular da fonte. Uma nota colada ao gráfico diz que a amplitude de tensão da fonte foi mantida constante em 12,0   V . Calcule a resistência e a indutância do solenoide.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para esse problema temos que encontrar uma função analítica de 1 / I 2 × ω 2 , que aí poderemos usar os dados do gráfico.

Para isso vamos precisar usar as seguintes relações:

I = V Z

X L = ω L

Z = R 2 + X L 2

Então vamos combinar essas equações para chegar na expressão que queremos.

Passo 2

Jogando a terceira equação na primeira, temos:

I = V R 2 + X L 2

Elevando os dois lados a - 1 , temos:

1 I = R 2 + X L 2 V

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 I 2 = R 2 + X L 2 V 2

Usando a expressão de X L temos:

1 I 2 = L 2 V 2 ω 2 + R 2 V 2

Então chegamos a uma função de 1 / I 2 × ω 2 .

Passo 3

Na equação que chegamos temos que L 2 / V 2 é o coeficiente angular, que podemos saber seu valor a partir do gráfico, já que ele é definido da seguinte forma:

Δ y Δ x

Do gráfico podemos pegar dois pontos para fazer essa conta, assim:

Δ y Δ x = 21 - 9 3500 - 500 = 4 × 10 - 3   s 2 / r a d 2 ⋅ A 2

Então temos que:

L 2 V 2 = 4 × 10 - 3

⇒ L = V 4 × 10 - 3

Substituindo o valor de V , temos:

L = ( 12 ) 4 × 10 - 3

⇒ L = 0,76   H

Passo 4

O outro termo da equação que chegamos no passo 2 , R 2 / V 2 é o coeficiente linear ele é igual ao valor do ponto onde o gráfico encosta no eixo y .

O gráfico encosta em y no ponto 7   A - 2 , então:

R 2 V 2 = 7

⇒ R = V 7

Substituindo o valor de V , temos:

R = ( 12 ) 7

⇒ R = 31,7   Ω

Com isso finalizamos nossa questão!

Resposta

L = 0,76   H

R = 31,7   Ω

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