Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 38.8 - Ex. 72
. Em um arranjo como o das Figs. e , os elétrons do feixe incidente têm uma velocidade de e na região existe um potencial elétrico de . Qual é o número de onda na região 1 e na região ? Qual é o coeficiente de reflexão? Se elétrons incidirem no degrau de potencial, quantos, aproximadamente, serão refletidos?
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!
Para calcularmos o vetor de onda do elétron, podemos usar a seguinte equação:
Onde é a energia total do elétron na região que temos interesse, na região como o enunciado nos dá a velocidade do elétron, a energia vai ser igual a energia cinética do elétron, já na região dois como temos a energia potencial, a energia total vai ser dada por .
Mas o enunciado nos dá o potencial elétrico na região para encontramos a energia potencial elétrica vamos usar o fato que:
Onde nesse caso é carga do elétron e o potencial que temos , assim:
Para encontrarmos o coeficiente de reflexão temos que avaliar as funções de onda do elétron nessas duas regiões, para a região , temos:
E para a região , temos:
Que são as equações e do livro.
Tendo isso vamos usar as condições de contorno ao nosso favor e assim calcular o coeficiente de reflexão que é dado pelo módulo quadrado da razão entre o coeficiente da onda refletida sobre o da onda incidente .
Depois que tivermos esse coeficiente de reflexão basta multiplicá-lo pelo número de elétrons incidentes que saberemos quantos elétrons refletiram.
Vamos as contas!
Passo 2
Começando com o item .
Antes vamos achar a energia , temos:
A massa do elétron é dada por e a velocidade o enunciado já deu, assim:
Agora podemos calcular , temos:
A constante de Planck , assim:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos para o item .
Na região , temos que , onde passando para Joules temos , assim
Substituindo os valores na equação temos:
Então temos que:
Passo 4
Agora vamos para o item .
Temos as seguintes funções de onda:
Temos que aplicar as condições de contorno para as funções de onda, essas condições são e .
Aplicando a primeira, temos:
Aplicando a segunda, temos:
Substituindo essa equação na primeira que encontramos, temos:
Achamos uma relação entre e , agora podemos calcular o coeficiente de reflexão .
Passo 5
Temos o seguinte então:
Usando o que encontramos, temos:
Substituindo os valores de e , encontramos que:
Passo 6
Agora vamos para o último item, letra .
O número de elétrons incidente é e como temos um coeficiente de reflexão de , o número de elétrons refletidos vai ser dado por:
Assim temos que:
Finalizamos a questão com sucesso!