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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 35.1 - Ex. 12

Uma partícula de energia E se aproxima de uma barreira de degrau da altura U0. Qual deve ser a razão E / U0 para que o coeficiente de reflexão seja 1/2?

Passo 1

Podemos usar as energias nas regiões U = 0 e U = U 0 para expressar a razão entre a energia potencial e a energia total em termos da razão dos números de onda. Também podemos expressar essa razão em termos do coeficiente de reflexão R para obter uma expressão para a razão de E para U em termos de R .

Na região: U = 0 :

E = ℏ 2 k 1 2 2 m

→

k 1 2 = 2 m E ℏ 2

k 1 = 2 m E ℏ 2

Já na região U = U 0 :

E - U 0 = ℏ 2 k 2 2 2 m

→

k 2 2 = 2 m ( E - U 0 ) ℏ 2

k 2 = 2 m ( E - U 0 ) ℏ 2

Então, se r for a razão entre os dois:

r = k 2 k 1

r = 2 m ( E - U 0 ) ℏ 2 2 m E ℏ 2

r = 2 m E - U 0 ℏ 2 2 m E ℏ 2

∴

r = E - U 0 E

r = 1 - U 0 E

Se U 0 = U :

r = 1 - U E

r 2 = 1 - U E

U E = 1 - r 2

Passo 2

Bom, temos que:

R = k 1 - k 2 2 k 1 + k 2 2

Vamos arrumar:

R = k 1 2 1 - k 2 k 1 2 k 1 2 1 + k 2 k 1 2

R = 1 - k 2 k 1 2 1 + k 2 k 1 2

Como r = k 2 k 1 :

R = 1 - r 2 1 + r 2 = 1 - r 1 + r 2

1 - r 1 + r = R

1 - r = R + r R

1 - R = r + r R

1 - R = r 1 + R

∴

r = 1 - R 1 + R

Passo 3

Dessa forma, vamos substituir r na equação do primeiro passo:

U E = 1 - 1 - R 1 + R 2

Assim:

E U = 1 - 1 - R 1 + R 2 - 1

E U = 1 - 1 - 0,5 1 + 0,5 2 - 1

Fazendo as contas:

E U = 1,03

Resposta

E U = 1,03

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