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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 38.8 - Ex. 70

Um elétron está se movendo em uma região onde existe um potencial elétrico uniforme de - 200   V com uma energia (total) de 500   e V . Determine (a) a energia cinética do elétron, em elétrons-volts, (b) o momento do elétron, (c) a velocidade do elétron, (d) o comprimento de onda de de Broglie do elétron, (e) o número de onda do elétron.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos achar primeiro a energia potencial do elétron:

U = q V

A carga do elétron é q = - e e V = - 200   V . Assim,

U = - e ⋅ - 200   V

Portanto,

U = 200   e V

Com isso, podemos achar a energia cinética:

E = U + K → K = E - U = 500   e V - 200   e V

Portanto,

K = 300   e V

Passo 2

Observe que a energia cinética do elétron é muito menor que sua energia de repouso ( 500   k e V ), de modo que podemos usar as expressões da física clássica tanto para a energia cinética quanto para o momento:

K = m v 2 2 = p 2 2 m → p = 2 m K

Logo,

p = 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 - 31 ⋅ 300 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19

Assim,

p = 9,34 ⋅ 10 - 24   k g   m / s

Para achar a velocidade, usamos

p = m v → v = 9,34 ⋅ 10 - 24 9,1 ⋅ 10 - 31

Assim,

v = 1,03 ⋅ 10 7   m / s

Observe que o fator γ de Lorentz é

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - 0,103 2 = 1,0053

Como γ é muito próximo de 1 , isso mostra que nossa aproximação não-relativística é muito boa!

Passo 3

Para achar o comprimento de onda de de Broglie, usamos

p = h λ → λ = h p

Assim,

λ = 6,62 ⋅ 10 - 34 9,34 ⋅ 10 - 24

Logo,

λ = 0,71 ⋅ 10 - 10   m

Ou ainda,

λ = 7,1 ⋅ 10 - 11   m

O número de onda é

k = 2 π λ = 2 ⋅ 3,14 7,1 ⋅ 10 - 11 = 0,88 ⋅ 10 11

Portanto,

k = 8,8 ⋅ 10 10   m - 1

Resposta

K = 300   e V

p = 9,34 ⋅ 10 - 24   k g   m / s

v = 1,03 ⋅ 10 7   m / s

λ = 7,1 ⋅ 10 - 11   m

k = 8,8 ⋅ 10 10   m - 1

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