Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas desafioadores - Ex. 77
77. Um dispositivo para medir volume. Um tanque contendo um líquido possui espiras enroladas em torno dele, fazendo com que ele funcione como um indutor. O volume do líquido no interior do tanque pode ser medido usando-se o valor de sua indutância para determinar a altura do líquido. A indutância do tanque varia de um valor , correspondente a uma permeabilidade relativa igual a , quando o tanque está vazio, até um valor , correspondente a uma permeabilidade relativa igual a (a permeabilidade relativa do líquido), quando o tanque está cheio. Um circuito eletrônico apropriado para determinar a indutância com cinco algarismos significativos e, portanto, é capaz de determinar a permeabilidade relativa efetiva da combinação do volume de ar com o volume do líquido na cavidade retangular do tanque. A seção reta retangular do tanque possui largura e altura (Figura ). A altura atingida pelo líquido no tanque é igual a . Despreze os efeitos de borda e suponha que a permeabilidade relativa do material do tanque seja desprezível. Deduza uma expressão para em função de , a indutância correspondente a uma dada altura do líquido, e . Qual é a indutância (com cinco algarismos significativos) para um tanque cheio até , cheio até , cheio até e completamente cheio de oxigênio líquido? Considere . A suscetibilidade magnética do oxigênio líquido é . Repita o item para o mercúrio. A suscetibilidade magnética do mercúrio é dada na Tabela . Para que tipo de material esse dispositivo de medição é mais prático?
Passo 1
Para esse problema, que por sinal é bem chatinho, temos de usar ao nosso favor o campo magnético produzido nesse indutor (podemos considerar como um solenoide), já que no campo magnético temos a presença de comprimentos e distancias, então uma forma de relacionar campo magnético e indutância é através da seguinte fórmula:
Onde é o fluxo magnético dado por:
Mas nesse problema o fluxo total vai ser a soma de dois fluxos que provêm de dois campos magnéticos diferentes, um que passa pelo ar dentro do tanque e um que passa pelo líquido. O campo de um solenoide é dado por:
A diferença entre esses dois campos vai ser a permeabilidade magnética de cada um, para o campo no ar teremos e o campo no líquido teremos (ou ), então para a nossa situação temos:
Juntando tudo isso conseguimos encontrar o que é pedido em .
Agora para o item e , basta encontramos uma fórmula que nos de e no meio do caminho de é capaz que achemos algo assim, já que vamos usar uma fórmula para indutância que mostrei mais acima.
Passo 2
Vamos então encontrar o fluxo para cada campo e depois somá-los, vamos começar para o campo que passa pelo ar, temos que:
Onde temos que área ocupada pelo ar é:
Assim:
Agora para o campo que passa pelo líquido, temos:
Onde temos que área ocupada pelo líquido é:
Assim:
Somando esses dois fluxos temos o fluxo total, então:
Passo 3
Agora vamos encaixar esse fluxo na fórmula da indutância, temos:
Agora é só isolar o e quase encontramos o que o item pediu, falta fazer com que apareça e .
Passo 4
Vamos então encontrar uma forma de aparecer o que falta na nossa expressão, o enunciado fala que é a indutância quando o tanque está vazio, quando está completamente cheio.
Podemos fazer o mesmo processo que fizemos no passo , mas para cada um desses casos e ver o que encontramos.
Primeiro vamos fazer para , então nosso campo é:
E o fluxo é dado por:
Então é dado por:
Agora vamos fazer a mesma coisa para , então nosso campo é:
E o fluxo é dado por:
Então é dado por:
Agora voltando na expressão que tínhamos encontrado no passo , temos:
Então com o que encontramos nesse passo podemos escrever essa expressão assim:
Isolando , ficamos com:
Pronto encontramos o que o item queria.
Passo 5
Agora vamos para o item .
No meio do caminho para a resposta do encontramos a seguinte expressão:
Vai ser a parti dessa expressão que vamos encontrar os valores pedidos em e em ,mas tem um detalhe, não conhecemos nenhum valor de .
Por isso vamos mexer um pouco nessa expressão, assim:
A expressão pode ser encontrada, já que:
Então:
Mas segundo a equação do livro pode ser escrito como:
Então nossa expressão fica da seguinte forma:
Agora sim podemos achar os valores de pedidos em e .
Passo 6
Agora vamos encontrar os valores de , primeiro vamos começar com o oxigênio líquido, onde . Vamos lá!
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Passo 7
Agora vamos encontrar os valores de para o mercúrio, onde segundo a tabela temos que . Vamos lá!
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Como podemos ver comparando os resultados do mercúrio com o oxigênio líquido, o medidor de volume é muito melhor para o oxigênio líquido do que o mercúrio, já que a diferença nos valores do oxigênio líquido é bem mais fácil de detectar, do que do mercúrio.
Resposta
A medição para o oxigênio líquido é muito melhor que para o mercúrio.