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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios e Problemas - Ex. 82

82. Uma bola de borracha é atirada diretamente para cima, a partir do solo, com rapidez inicial v 0 . Simultaneamente, uma segunda bola de borracha é solta, a partir do repouso, de uma altura h em relação ao solo diretamente acima da primeira.

  1. A que altura do solo as bolas colidem entre si? Sua resposta deverá ser uma expressão simbólica em termos de v 0 e g .
  2. Qual é o valor máximo de h para o qual ocorre uma colisão antes que a primeira bola toque o solo?
  3. Para que valor de h a colisão ocorre no instante em que a primeira bola se encontra na altura máxima?

Passo 1

Essa vai ser uma questão de queda livre então vamos lembrar que em queda livre a aceleração que usamos nas equações é a aceleração da gravidade g .

Então vamos olhar o problema de forma mais explicada:

A bolinha B parte do ponto y 0 B dado pelo enunciado por y 0 B = h e parte do repouso então v 0 B = 0 .

Já a bolinha A é arremessada para cima (do chão), ou seja, y 0 A = 0 . Por ser arremessada possui uma velocidade inicial dada por v 0 A = v 0

Porém ambas acontecem no mesmo tempo t 0 = 0 . Sabendo disso, podemos começar a resolver nosso exercício.

Passo 2

a ) Para saber em qual altura do solo as bolinhas colidem precisamos encontrar o y 1 de ambas as bolinhas através da equação 2.20 , lembrando agora que por se tratar de queda livre a nossa aceleração ( a ) é a aceleração de queda livre ( g ) .

Primeiro vamos achar y 1 A :

y 1 A = y 0 A + v 0 A t 1 - t 0 - 1 2 g t 1 - t 0 2

Conhecemos y 0 A e t 0 , então:

y 1 A = v 0 t 1 - 1 2 g ( t 1 ) ²

Agora vamos achar y 1 B :

y 1 B = y 0 B + v 0 B t 1 - t 0 - 1 2 g t 1 - t 0 2

Conhecemos y 0 B e t 0 , então:

y 1 B = h - 1 2 g ( t 1 ) ²

Como elas vão colidir então precisaram ter o mesmo y 1 , ou seja:

y 1 A = y 1 B

v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2 = h - 1 2 g t 1 2 → v 0 t 1 = h → t 1 = h v 0  

Agora vamos substituir o resultado de t 1 em umas das equações de y 1 que no caso será y 1 B pois é bem mais fácil e, também, estará facilmente em termos de v 0 e g .

y 1 B = h - 1 2 g t 1 2 = h - g h 2 2 v 0 2 = y 1

E essa é a altura da colisão.

Passo 3

b ) Nesse item para descobrir o valor máximo de h antes que a primeira bola ( A ) atinja o solo precisamos saber que y c o l i s ã o ≥ 0 .

Usando o resultado do exercício anterior:

y c o l i s ã o = h - g h 2 2 v 0 2

h - g h 2 2 v 0 2 ≥ 0 → g h 2 2 v 0 2 ≤ h →   g h ≤ 2 v 0 2 → h ≤ 2 v 0 2 g

O valor máximo da antes da primeira bola tocar ao chão será:

h m á x i m a = 2 v 0 2 g

Passo 4

c )   A primeira bola ( A ) quando chegar na sua altura máxima irá parar por um momento e depois descer. Nesse momento em que ela parar sua velocidade será v 1 A = 0 .

Usaremos a equação 2.18 , lembrando agora que por se tratar de queda livre a nossa aceleração ( a ) é a aceleração de queda livre ( g ) .

v 1 A = v 0 A - g t 1 - t 0 → 0 = v 0 - g t 1

No item a ) descobrimos em qual valor de t 1 ocorrer a colisão, substituindo:

v 0 = g ⋅ h v 0 → h = v 0 2 g

Resposta

( a )

y 1 = h - g h ² 2 ( v 0 ) ²

( b )

h m á x i m a = 2 v 0 2 g

c

h = v 0 2 g

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