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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 27.Problemas - Ex. 84

84-Derivação da Equação (27.26) para uma espira circular. Uma espira em fio em forma de anel está sobre o plano x y com o centro na origem. No anel, circula uma corrente I no sentido anti-horário (Figura 27.72 ). Um campo magnético uniforme B → = B x   i . (Esse resultado poderá ser facilmente estendido para um campo B → com direção arbitrária.)

( a ) Na Figura 27.72 , mostre que o elemento de linha é dado por d l → = R d θ - s e n   θ i + cos ⁡ θ j e calcule d F → = I d l → × B → .

( b ) Integre d F → ao longo da espira para mostrar que a força resultante é igual a zero.

( c ) Do item ( a ) calcule d τ → = r → × d F → , em que r → = R ( cos ⁡ θ i + s e n   θ j ) é o vetor que liga o centro da espira ao elemento d l → . (Observe que d l → é perpendicular a r → )

( d ) Integre d τ → ao longo da espira para encontrar o torque total τ → que atua sobre a espira. Mostre que o resultado pode ser escrito na forma τ → = μ → × B → , em que μ = I A . (Nota: ∫ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 x + 1 4 s e n   2 x ,   ∫ s e n 2 x d x = 1 2 x - 1 4 s e n   2 x , e ∫ s e n   x cos ⁡ x d x = 1 2 s e n 2 x ).

Passo 1

Sabendo que d l varia em y em relação ao cosseno (pois θ está relacionado com a vertical) e de forma positiva (pois a posição de y de d l cresce a medida que d l varia).

Já a parcela horizontal decresce a medida que d l cresce no sentido anti-horário e varia em relação ao seno. Então a parte vetorial de d l será igual a:

d l → = R d θ - s e n   θ i + cos ⁡ θ j

Isso nos diz que quando θ = 0 d l aponta na direção + y e o que aponta em + x é θ = - 90 ° .

Então d F → será:

d F → = I R d θ - s e n   θ i + cos ⁡ θ j × B x i

Isso será:

d F → = I R B x d θ - cos ⁡ θ k

Passo 2

Para integrar d F → em todo o círculo nós devemos fazer com que θ varie em 0 até 2 π .

F = ∫ 0 2 π I R B x - cos ⁡ θ k   d θ

F = I R B x - s e n   θ 0 2 π k = 0

Passo 3

Fazendo a conta da letra c nós temos:

d τ → = R cos ⁡ θ i + s e n   θ j × I R B x d θ - cos ⁡ θ k  

Fazendo produto notável (com as regras de produto vetorial) nós teremos:

d τ → = I B x R 2 d θ [ cos 2 ⁡ θ j - c o s θ   s e n   θ i ]

Passo 4

Integrando de 0 até 2 π em d θ nós teremos:

d τ → = I B x R 2 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ j - 1 2 s e n 2 x i 0 2 π

τ → = I B x R 2 π + 0 j - 0 i = I B x R 2 π   j

Onde π R 2 = A , então uma forma possível de escrever em termos de τ → = μ → × B → é:

τ → = I A k × B x i

Uma vez que o vetor μ está na direção k . E B x nos diz que está na direção x .

Resposta

a )   d F → = I R B x d θ - cos ⁡ θ k

b )   P a s s o   2

c )   d τ → = I B x R 2 d θ [ cos 2 ⁡ θ j - c o s θ   s e n   θ i ]

d )   τ → = I B x R 2 π   j ^ = I A k × B x i

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