77- Uma barra delgada uniforme, com massa desprezível e comprimento de 0.200   m , está fixa no solo por uma dobradiça de atrito desprezível no ponto P (Figura 27.67 ). Uma mola horizontal, com constante de força k = 4.80   N / m , conecta a outra extremidade do bastão a uma parede vertical. O bastão está em um campo magnético uniforme B = 0.340   T orientado para dentro do plano da figura. Uma corrente I = 6.50   A passa pelo bastão, no sentido indicado.

( a ) Calcule o torque em função da força magnética sobre o bastão, para um eixo x no ponto P . É correto tomar a força magnética total para atuar no centro de gravidade do bastão, ao calcularmos o torque? Explique

( b ) Quando o bastão está em equilíbrio e forma um ângulo de 53 ° em relação ao solo, a mola está estendida ou comprimida?

( c ) Quanta energia é armazenada na mola, quando o bastão está em equilíbrio?

Passo 1

Tomando um elemento d r infinitesimal da barra nós teremos a seguinte força magnética atuando na barra.

Onde o elemento de força d F será igual a:

d F → = I d r → × B →

Então o torque em P será:

d τ → = r → × d F →

O que nos dá (se preocupando apenas com o escalar do torque) uma intensidade de momento igual a:

d τ = I B r d r

Como I = 6.5   A ; B = 0.34   T e r varia de 0 até 0.2 então teremos um valor de torque igual a:

τ = 6.5 × 0.34 ∫ 0 0.2 r   d l = 2.21 r 2 2 0 0.2 = 0.0442   N m

Até daria para calcular a força magnética total no meio da barra , se liga no que a integral nos deu:

τ = B I r × r 2

A parcela B I r é a área de toda a força magnética e r / 2 nos diz que essa força está no meio da espira. Porém a chance de você errar isso sem a análise da integral é bem alta.

Passo 2

A força magnética tende a puxar a barra para a direita então é bem provável que a mola esteja esticada puxando o sistema para o outro lado.

De forma que o sistema de forças nessa barra seja.

O equilíbrio de momentos nessa barra será igual a:

K x r sin ⁡ 53 ° = B I r 2 2

x = B I r 2 K = 0.34 × 6.5 × 0.2 2 × 4.8 sin ⁡ 53 = 0.0577   m

Então a energia armazenada nessa mola será de:

E = 1 2 K x 2 = 1 2 × 4.8 × 0.0577 2 = 7.98 × 10 - 3   J

Resposta

a )   0.0442   N m

b )   e s t e n d i d a ; Δ x = 0.0577   m

c )   E = 7.98 × 10 - 3   J

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