2. Uma abertura circular de diâmetro igual a 3,1   m m num anteparo opaco é iluminada perpendicularmente por uma onda plana monocromática. Num outro anteparo paralelo ao primeiro, a uma distância de 1   m , o centro da figura de difração é escuro. Afastando-se gradualmente o anteparo de observação, o centro torna-se brilhante depois escurece de novo e se ilumina mais uma vez permanecendo brilhante daí em diante, por mais que se afaste o anteparo de observação. Qual o comprimento de onda da luz?

Passo 1

Então, vamos para mais? Então vem comigo que vamos resolver essa.

O enunciado fala que o anteparo está a uma certa distância da fenda circular vamos considerar um eixo que passa no centro da abertura circular e da figura de difração e o ponto de observação P em cima do eixo no anteparo.

O enunciado diz também que a medida que afasta o anteparo o centro ora se torna brilhante ora se torna escuro até ficar brilhante de vez.

Esse efeito de mudança da intensidade do centro ocorreu porque o anteparo estava na região de Fresnel, a partir de um certo ponto ele saio desse limite.

Então para resolver esse problema temos que usar as zonas de Fresnel ao nosso favor.

Vamos lá!

Passo 2

Pela consideração que fizemos de tomar o eixo no centro da fenda circular, então o contorno da nossa abertura circular iria coincidir com o contorno de uma das zonas de Fresnel.

Os raios das zonas de Fresnel são dados por:

ρ n = n λ z             n = 1,2 , 3 , …

Onde z é a distância entre a fenda e o anteparo. Então se formos calcular a área de uma dessas zonas teríamos que fazer a diferença entra áreas formadas por dois raios consecutivos, da seguinte maneira:

π ρ n + 1 2 - π ρ n 2 = π n + 1 λ z - n λ z = π λ z

Se você reparar a área dessa zona qualquer é igual a área da primeira zona onde teríamos n = 1 , assim:

π ρ n + 1 2 - π ρ n 2 = π ρ 1 2

Logo todas as zonas de Fresnel têm a mesma área.

Passo 3

Tá, mas em que isso nos ajuda? Isso vai nos ajudar da seguinte maneira, se todas as zonas de Fresnel têm a mesma área, logo cabe N fendas em nossa abertura circular, logo teremos que:

π r 2 = N π ρ 1 2

Onde r é o raio da abertura circular.

E usando o fato de que o número de fendas em uma abertura circular é dado por:

N = r λ z

Então ficamos com o seguinte:

π r 2 = r λ z π ρ 1 2

⇒ r 2 = r λ z λ z

⇒ r = λ z λ z

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

r 2 = λ 2 z 2 λ z

⇒ r 2 = λ z

⇒ λ = r 2 z

Usando o fato que temos um diâmetro de 3,1   m m o raio é de 1,55   m m = 1,55 ⋅ 10 - 3   m , e temos que z = 1   m ficamos com:

λ = ( 1,55 ⋅ 10 - 3 ) 2 1

⇒ λ = 2,4 ⋅ 10 - 6   m

Resposta

λ = 2,4 ⋅ 10 - 6   m

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