Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 2
2. Uma abertura circular de diâmetro igual a num anteparo opaco é iluminada perpendicularmente por uma onda plana monocromática. Num outro anteparo paralelo ao primeiro, a uma distância de , o centro da figura de difração é escuro. Afastando-se gradualmente o anteparo de observação, o centro torna-se brilhante depois escurece de novo e se ilumina mais uma vez permanecendo brilhante daí em diante, por mais que se afaste o anteparo de observação. Qual o comprimento de onda da luz?
Passo 1
Então, vamos para mais? Então vem comigo que vamos resolver essa.
O enunciado fala que o anteparo está a uma certa distância da fenda circular vamos considerar um eixo que passa no centro da abertura circular e da figura de difração e o ponto de observação em cima do eixo no anteparo.
O enunciado diz também que a medida que afasta o anteparo o centro ora se torna brilhante ora se torna escuro até ficar brilhante de vez.
Esse efeito de mudança da intensidade do centro ocorreu porque o anteparo estava na região de Fresnel, a partir de um certo ponto ele saio desse limite.
Então para resolver esse problema temos que usar as zonas de Fresnel ao nosso favor.
Vamos lá!
Passo 2
Pela consideração que fizemos de tomar o eixo no centro da fenda circular, então o contorno da nossa abertura circular iria coincidir com o contorno de uma das zonas de Fresnel.
Os raios das zonas de Fresnel são dados por:
Onde é a distância entre a fenda e o anteparo. Então se formos calcular a área de uma dessas zonas teríamos que fazer a diferença entra áreas formadas por dois raios consecutivos, da seguinte maneira:
Se você reparar a área dessa zona qualquer é igual a área da primeira zona onde teríamos , assim:
Logo todas as zonas de Fresnel têm a mesma área.
Passo 3
Tá, mas em que isso nos ajuda? Isso vai nos ajudar da seguinte maneira, se todas as zonas de Fresnel têm a mesma área, logo cabe fendas em nossa abertura circular, logo teremos que:
Onde é o raio da abertura circular.
E usando o fato de que o número de fendas em uma abertura circular é dado por:
Então ficamos com o seguinte:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Usando o fato que temos um diâmetro de o raio é de , e temos que ficamos com: