7. Interprete geometricamente, em termos da representação dos números complexos por vetores no plano complexo, a condição para que se tenha o primeiro zero, após um máximo principal, do fator de interferência

F = 1 + e - i Δ + e - i Δ 2 + … + e - i Δ N - 1

Passo 1

Tudo beleza? Vem comigo em mais esse problema que juntos vamos nos livrar dele.

A equação apresentada acima no enunciado é um dos termos da amplitude de difração em uma dada direção para o caso de N fendas. Que é dada por (Eq. 4.64 ):

f ( k , α ) = f 1 k , α 1 + e - i k α d + e - i k α d 2 + … + e - i k α d N - 1

Onde k α d = Δ é a defasagem entre duas fendas.

Esse fator é uma progressão geométrica que tem como razão e - i Δ , então essa soma pode ser representada por:

F = 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ

Com isso a intensidade do padrão de interferência pode ser escrita da seguinte forma:

I α = I 1 α ⋅ 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ 2

E usando o fato de que 1 - e - i Δ 2 = sen 2 ⁡ Δ 2 , temos que:

I α = I 1 α ⋅ sen 2 ⁡ N Δ 2 sen 2 ⁡ Δ 2

Só que o termos que vai nos interessar é

sen 2 ⁡ N Δ 2 sen 2 ⁡ Δ 2

Já que é ele que fornece o padrão de interferência. Um exemplo do gráfico dessa expressão é o seguinte:

Agora temos que ver que valor de Δ faz com que tenhamos o primeiro mínimo que é o que temos que interpretar no plano complexo.

Passo 2

Vamos lá então, para que a expressão que temos do passo 1 seja zero, precisamos que:

N Δ 2 = m π             m = ± 1

Já que a função seno zero para múltiplos inteiro de π .

Isolando Δ , temos:

Δ = 2 m π N

Onde m representa a ordem nos mínimos, como estamos interessados no primeiro temos que m = 1 , logo temos:

Δ = 2 m π N

Passo 3

Agora temos que ver o comportamento de F com esse valor de Δ para podermos construir o o vetor no plano complexo.

Temos que:

F = 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ

Usando o Δ que temos para m = 1 ficamos com:

F = 1 - e - i 2 π 1 - e - i 2 π N

Mas temos que:

e - i 2 π = cos ⁡ 2 π - i sen ⁡ 2 π = 1

Então temos que:

F = 0

Então a representação dele no plano complexo seria um ponto na origem.

Resposta

Demonstração acima.

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