13. Uma pessoa olha através de uma cortina de gaze para uma lâmpada de sódio ( λ = 5890   Å ) situada a 10   m de distância, e vê uma rede aproximadamente quadrada de pontos brilhantes com espaçamentos de 5   c m em ambas as direções. Quantos fios por c m tem a trama da gaze?

Passo 1

E aí! Vem comigo para resolver mais esse problema!

A situação descrita pelo enunciado é bem dizer o caso de uma rede de difração, só que temos difração tanto na vertical quanto na horizontal, mas podemos considerar apenas uma já que elas acontecem da mesma forma.

O enunciado nos fornece a distância entre os pontos brilhantes que na verdade são como as franjas que observamos em um anteparo, só que o anteparo agora é a pessoa a 10   m . Louco não?

Para conseguir encontrar quantos fios temos por centímetro precisamos saber a distância d de entre as “fendas” da nossa rede, pois sabendo disso podemos ver quantas fendas cabem em 1   c m .

Para isso vamos usar a equação que nos fornece a posição dos máximos em uma rede, dada por:

sen ⁡ θ = m λ d

Fazendo uma aproximação para pequenos ângulos temos:

sen ⁡ θ ≈ tg ⁡ θ

Onde tg ⁡ θ = y / L ( L é a distância entre a rede o anteparo), logo temos que:

y L = m λ d

Mas por que disso? Bem, como sabemos a distância entre dois máximos ( 5   c m = 0,05   m ) podemos pegar dois máximos consecutivos de ordem m e m + 1   e fazer a diferença entre eles ´pois assim teríamos Δ y que vai ser igual a distância entre eles.

Vem comigo para ver como vai ser.

Passo 2

Temos um máximo de ordem m , que tem a seguinte posição:

y 1 L = m λ d

E temos um máximo de ordem m + 1 que tem a seguinte posição:

y 2 L = ( m + 1 ) λ d

Fazendo a diferença entre essas duas equações temos:

y 2 L - y 1 L = m + 1 λ d - m λ d

⇒ Δ y L = λ d

Isolando d , temos:

d = λ L Δ y

Substituindo os valores que conhecemos temos:

d = ( 5890   Å ) ( 10 ) 0,05

Usando o fato de que 1   Å = 10 - 10   m , temos:

d = ( 5890 ⋅ 10 - 10 ) ( 10 ) 0,05

= 5890 ⋅ 10 - 9 0,05

Logo temos que:

d = 1,178 ⋅ 10 - 4   m

Essa é a distância entre as fendas da rede.

Passo 3

Agora vamos saber quantos fios temos por centímetro, para descobrir isso vamos dividir 1   c m pela distância que temos, lembrando que ela deve ser em c m para não dá erro de termos unidades diferentes.

1,178 ⋅ 10 - 4   m = 1,178 ⋅ 10 - 2   c m

Logo temos que o número de fios n é dado por:

n = 1 1,178 ⋅ 10 - 2

Assim

n ≅ 85

Resposta

85 fios por centímetro.

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