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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 25.1 - Ex. 34

Um acelerador produz um feixe de prótons com uma seção circular de 2,0   m m de diâmetro e corrente de 1,0   m A . A densidade de corrente está uniformemente distribuída no feixe. A energia cinética de cada próton é 20   M e V . O feixe atinge um alvo metálico e é absorvido por ele. (a) Qual é a densidade do número de prótons no feixe? (b) Quantos prótons colidem no alvo a cada minuto? (c) Qual é a magnitude da densidade de corrente neste feixe?

Passo 1

Fala galera!! Então, vamos começar lembrando que

I = n e A v ⟹ n = I n e A v

A velocidade poderá ser obtida a partir da energia cinética:

K = 1 2 m v 2 ⟹ v = 2 K m

E a área pode ser obtida pela fórmula da área do círculo:

A = 1 4 π D 2

sendo D o diâmetro. Juntando tudo isso, temos

n = I n e 1 4 π D 2   2 K m = 4 I π e D 2 m 2 K

Logo,

n = 4 1,0 × 10 - 3 π 1,602 × 10 - 19 2 × 10 - 2   2 1,67 × 10 - 27 2 20 × 10 6   e V 1,602 × 10 - 19   J / e V n = 3,21 × 10 13     m - 3

Observe que para passar a energia de e V para J multiplicamos seu valor por 1,602 × 10 - 19 !! Não se esqueça dessa conversão.

Passo 2

(b) Podemos pensar em um “cilindro” de prótons. Em um tempo Δ t , a altura desse cilindro será v Δ t . O volume do cilindro será V = v Δ t A = v Δ t ⋅ 1 4 π D 2 . O número de prótons será o volume vezes a densidade calculada no item (a). Assim, N = V n .

N = v Δ t ⋅ 1 4 π D 2 ⋅ n N = 1 4 π D 2 n Δ t   2 K m N = 1 4 π 2 × 10 - 2 2 3,21 × 10 3 60   s 2 20 × 10 6 1,602 × 10 - 19 1,673 × 10 - 27 N = 3,7 × 10 17   p r ó t o n s  

(c) A densidade de corrente é facilmente calculada por sua formula:

J = I A = 1,0 × 10 - 3 π 1,0 × 10 - 3 2 J = 0,32   k A / m 2

Resposta

  1. 3,2 × 10 13   m - 3 .
  2. 3,7 × 10 17
  3. 0,32   k A / m 2
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