Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 4
Para um gás ideal em equilíbrio térmico, calcule o valor médio da magnitude de um componente de velocidade de uma molécula (numa direção qualquer). Compare-o com .
Passo 1
A fórmula que você deve estar acostumado a usar pra distribuição de Maxwell é essa aqui:
Mas isso te dá a probabilidade de encontrar uma velocidade de módulo , mesmo que seja uma velocidade em duas ou três dimensões.
Quando uma partícula só se move em uma dimensão , a fórmula fica um pouco mais simples:
E pra encontrar a velocidade média nessa distribuição aí, temos que usar a seguinte fórmula:
Passo 2
Beleza, agora vamos para a parte matemática: temos que resolver a integral.
O primeiro passo é substituir a fórmula:
E tirar as constantes:
A fórmula pra resolver essa integrar é essa aqui:
Então:
Quando tende ao infinito, aquela exponencial tende a zero, e quanto tende a , a exponencial tende a , então:
Aqui nós integramos só entre os valores positivos de (fomos de a ). Mas como o enunciado pediu a média da magnitude (módulo), temos que considerar os negativos também.
Pra levar isso em conta, é só multiplicar nosso resultado por dois:
Passo 3
E por último, o enunciado pede pra comparar esse último resultado com .
A fórmula desse é a seguinte:
Vamos ver como fica a razão entre e o nosso resultado:
Ou seja:
Resposta
O valor médio da magnitude de um componente da velocidade é .