Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 77
O átomo de hidrogenio no seu estado fundamental pode ser modelado como uma carga puntiforme positiva de magnitude (o proton)circundada por uma distribuicao de carga negativa com densidade de carga(o eletron)que varia com a distancia ao centro do protonr como um resultado obtido da mecânica quantica),onde a=0,523nm e a distancia mais provavel do eletron ao proton.(a)Calcule o valor de p.necessario para que o atomo de hidrogenio seja neutro.(b)Calcule o potencial eletrostatico(relativo ao infinito)deste sistema como funcao da distancia r ao proton.
Passo 1
E aiiii gente, vem fazer essa questão tranquilíssima comigo!
Segura na minha mão, e vem!
Na letra a, vamos expressar a carga em uma camada esférica de volume a uma distância do próton e definir a integral desta expressão igual à carga do elétron e isso nos permitirá resolver o valor de necessário para a neutralidade de carga. Na letra b, o potencial eletrostático deste sistema é a soma dos potenciais eletrostáticos devido à densidade de carga do próton e do elétron. O potencial devido ao próton é . Podemos usar a densidade de carga dada para expressar a função potencial devido à distribuição de carga do elétron e então integrar esta função para encontrar o potencial devido ao elétron.
Passo 2
Letra a:
Expresse o equipamento de carga em uma camada esférica de volume a uma distância r do próton:
Expresse a condição para a neutralidade de carga:
De uma tabela de integrais, temos:
Usando este resultado, temos:
Substitua na expressão por para obter:
Substitua valores numéricos e avalie :
Passo 3
Letra b:
O potencial eletrostático deste sistema próton-elétron é a soma dos potenciais eletrostáticos devido ao próton e à densidade de carga do elétron:
Onde
E
Substituindo por na expressão de , temos:
De uma tabela de integrais, temos:
Usando este resultado para avaliar , temos:
E
Passo 4
Substituindo na expressão de , temos:
Substitua da Parte (a) e simplifique para obter:
Substituindo por na equação (2) e simplificando, temos:
De uma tabela de integrais, temos:
Usando este resultado para avaliar, temos:
Vamos substituir e na expressão de , para obter:
Substituindo e na equação (1) e simplificando, temos: