Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de 3,2 ×   10 5   m / s em direção a um próton mantido fixo no lugar. Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande distância do próton, a que distância do próton a velocidade instantânea do elétron é duas vezes maior que o valor inicial?

Passo 1

Nessa questão temos um elétron com uma velocidade inicial se movendo em direção a um pronto, mas que inicialmente estava a uma grande distância do próton.

Queremos saber qual distância o elétron terá do próton quando sua velocidade for duas vezes igual a inicial.

Nesse caso iremos resolver a partir da conservação de energia, afinal a força elétrica é uma força conservativa e portanto a energia mecânica se conserva.

Teremos então:

E i = E f

Onde a energia mecânica E é dada como a soma da cinética com a potencial.

E i = E f

K i + U i = K f + U f

A energia cinética é dada como:

K = m v 2 2

E a energia potencial será a energia potencial elétrica, dada como:

U = k q 1 q 2 r

Passo 2

No início teremos:

K i = m v i 2 2

Onde m será a massa do elétron e v i é a sua velocidade inicial.

E a energia potencial inicial é zero, afinal, no início o elétron estava a uma distância muito grande do próton.

No final teremos:

K f = m v f 2 2

U f = k q q r

Onde k é a constante eletrostática e r é a distânica entre o próton e o elétron.

Como se trata da interação elétrica entre um próton e um elétron, as cargas serão as cargas elementares.

U f = k e - e r

Teremos então pela conservação de energia, a seguinte equação:

K i + U i = K f + U f

m v i 2 2 = m v f 2 2 - k e 2 r

Passo 3

Nessa questão queremos saber a distância ( r ) entre o próton e o elétron em que o elétron terá o dobro da velocidade inicial, isso é:

v f = 2 v i

Fazendo essa substituição, teremos:

m v i 2 2 = m v f 2 2 - k e 2 r

m v i 2 2 = m 2 v i 2 2 - k e 2 r

m v i 2 2 = 2 m v i 2 - k e 2 r

Ajuntando os termos:

m v i 2 2 - 2 m v i 2 = - k e 2 r

- 3 2 m v i 2 = - k e 2 r

Como queremos encontrar o valor da distância r , podemos coloca-la em evidência:

r = 2 3 k e 2 m v i 2

E substituindo os valores teremos:

(Lembrando que a massa do elétron e a carga elementar são tabelados.)

m e = 9,11 × 10 - 31 k g

e = 1,6 × 10 - 19 C

r = 2 3   8,99 × 10 9 × 1,6 × 10 - 19 2 9,11 × 10 - 31 × 3,2 × 10 5 2

r = 1,65 × 10 - 9 m

Portanto, a distância pedida vale r = 1,65 × 10 - 9 m .

Resposta

r = 1,6 × 10 - 9   m

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