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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 50

Uma barata de massa 0,17 k g corre no sentido anti-horário na boda de um disco circular de raio 15 c m e momento de inércia 5.10 - 3 k g . m ² , montado em um eixo vertical com atrito desprezível. A velocidade da barata (em relação ao chão) é 2 m / s e o disco gira no sentido horário com uma velocidade angular ω 0 = 2,8 r a d / s . A barata encontra uma migalha de pão na borda e , obviamente, para.

( a ) Qual é a velocidade angular do disco depois que a barata para? A energia mecânica é conservada quando a barata para?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de conservação de momento angular? Nessa questão o que acontece é que o momento angular antes e depois da barata parar é o mesmo, então:

L i = L f

Mas não podemos esquecer que momento angular é uma grandeza vetorial, por isso, precisamos estabelecer uma direção para ser a positiva.

Aqui eu vou escolher o sentido anti-horário como o positivo, beleza!?

Passo 2

No início o momento angular é dado por:

L i = L i b a r a t a + L i d i s c o

O momento angular da barata é:

L i b a r a t a = I b a r a t a ω i

Como a barata tá na borda do disco, e ela pode ser considerada como uma partícula, o seu momento de inércia é dado por:

I b a r a t a = m b a r a t a R 2

Sobre a sua velocidade angular, sabemos que ela será positiva, pois o enunciado diz que a barata se movimenta no sentido anti-horário, e para encontrar o seu módulo vamos usar a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear que foi dada:

v = ω R

ω = v R

Assim:

L i b a r a t a = m b a r a t a R v

Já o momento angular do disco é:

L i d i s c o = I d i s c o ω i d i s c o

Lembrando que o enunciado já deu I d i s c o .

Mas não podemos esquecer que o disco está se movimentando no sentido horário, por isso, sua velocidade angular vai ser negativa hein!

Juntando tudo, temos o seguinte:

L i = m b a r a t a R v - I d i s c o ω i d i s c o

Passo 3

O momento angular final é dado por:

L f = L f b a r a t a + L f d i s c o

Agora quando a barata para de se mover sobre o disco, a sua velocidade angular é igual a velocidade angular do disco, já que os dois giram juntos, então:

L f = ω f I d i s c o + I b a r a t a

L f = ω f I d i s c o + m b a r a t a R 2

Passo 4

Conservando o momento angular vamos ter:

L i = L f

m b a r a t a R v - I d i s c o ω i d i s c o = ω f I d i s c o + m b a r a t a R 2

ω f = m b a r a t a R v - I d i s c o ω i d i s c o I d i s c o + m b a r a t a R 2

Agora, é só jogar os valores numéricos:

ω f = 0,17 × 0,15 ⋅ 2 - 5 × 10 - 3 2,8 5 × 10 - 3 + 0,17 ⋅ 0,15 2

ω f = 5,14   rad/s

E como esse valor deu positivo, isso indica que a velocidade angular do disco (e da barata que está parada sobre o disco) está no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora, vamos ver se a energia mecânica irá se conservar nesse movimento.

E i = E f

Aonde no início teremos a energia cinética de rotação da barata e do disco e no final teremos a energia cinética de rotação do sistema barata+disco.

E i = K r o t b + K r o t d

E f = K r o t d + b

Vamos verificar, portanto, se a seguinte igualdade está correta.

I b ω b 2 2 + I d ω d 2 2 = I b + d   ω f 2 2

E substituindo esses valores, teremos:

m b a r a t a R 2 ω b 2 2 + I d ω d 2 2 = I d + m b a r a t a R 2 ω f 2 2

Substituindo ω b = v b R

m b a r a t a v b 2 2 + I d ω d 2 2 = I d + m b a r a t a R 2 ω f 2 2

0,17 × 2 2 2 + 5 × 10 - 3 × 2,8 2 2 = 5 × 10 - 3 + 0,17 × 0,15 2 5,14 2 2

0,3596 = 0,1166

Portanto, percebemos que a energia mecânica não se conserva. Antes da barata parar havia uma energia mecânica de 0,3596 J e após ela ter parado, a energia mecânica passou a ser 0,1166 J .

Resposta

  1. ω f = 5,14   rad/s
  2. A  energia mecânica não se conserva
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