Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 50
Uma barata de massa corre no sentido anti-horário na boda de um disco circular de raio e momento de inércia , montado em um eixo vertical com atrito desprezível. A velocidade da barata (em relação ao chão) é e o disco gira no sentido horário com uma velocidade angular . A barata encontra uma migalha de pão na borda e , obviamente, para.
Qual é a velocidade angular do disco depois que a barata para? A energia mecânica é conservada quando a barata para?
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de conservação de momento angular? Nessa questão o que acontece é que o momento angular antes e depois da barata parar é o mesmo, então:
Mas não podemos esquecer que momento angular é uma grandeza vetorial, por isso, precisamos estabelecer uma direção para ser a positiva.
Aqui eu vou escolher o sentido anti-horário como o positivo, beleza!?
Passo 2
No início o momento angular é dado por:
O momento angular da barata é:
Como a barata tá na borda do disco, e ela pode ser considerada como uma partícula, o seu momento de inércia é dado por:
Sobre a sua velocidade angular, sabemos que ela será positiva, pois o enunciado diz que a barata se movimenta no sentido anti-horário, e para encontrar o seu módulo vamos usar a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear que foi dada:
Assim:
Já o momento angular do disco é:
Lembrando que o enunciado já deu .
Mas não podemos esquecer que o disco está se movimentando no sentido horário, por isso, sua velocidade angular vai ser negativa hein!
Juntando tudo, temos o seguinte:
Passo 3
O momento angular final é dado por:
Agora quando a barata para de se mover sobre o disco, a sua velocidade angular é igual a velocidade angular do disco, já que os dois giram juntos, então:
Passo 4
Conservando o momento angular vamos ter:
Agora, é só jogar os valores numéricos:
E como esse valor deu positivo, isso indica que a velocidade angular do disco (e da barata que está parada sobre o disco) está no sentido anti-horário.
Passo 5
Agora, vamos ver se a energia mecânica irá se conservar nesse movimento.
Aonde no início teremos a energia cinética de rotação da barata e do disco e no final teremos a energia cinética de rotação do sistema barata+disco.
Vamos verificar, portanto, se a seguinte igualdade está correta.
E substituindo esses valores, teremos:
Substituindo
Portanto, percebemos que a energia mecânica não se conserva. Antes da barata parar havia uma energia mecânica de e após ela ter parado, a energia mecânica passou a ser .