Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 28.1 - Ex. 83

Uma bobina com N voltas e área A está suspensa no teto por um fio que fornece um torque restaurador linear com uma constante de torção k . As duas extremidades da bobina estão conectadas entre si, ela tem resistência R e momento de inércia I . O plano da bobina é vertical e paralelo a um campo magnético horizontal uniforme B → quando o fio não está torcido (isto é, θ = 0 ). A bobina é deslocada em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro por um pequeno ângulo θ 0 e é liberada. A bobina inicia, então, uma oscilação harmônica amortecida. Mostre que o ângulo com a posição de equilíbrio varia com o tempo de acordo com θ t = θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t , onde τ = R I / N B A 2 , ω = k I e ω ' = ω 0 ⋅ 1 - 2 ω 0 τ - 2 .

Passo 1

E aí bonit@s, como vocês estão?

Se liguem só no que faremos nessa questão: se a bobina é girada em um ângulo θ , o fio exerce um torque de restauração igual a – κ θ atua sobre ele retornando-o à sua posição de equilíbrio. Porém, ao girar com velocidade angular d θ / d t , haverá uma fem induzida na bobina. A direção da corrente resultante desta fem induzida será tal que seu campo magnético se oporá à mudança no fluxo resultante da rotação da bobina. O efeito líquido é que o campo magnético exerce um torque na bobina em uma direção oposta à direção da velocidade angular da bobina. Podemos mostrar que θ varia com o tempo de acordo com θ t = θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t , onde τ = R I / N B A 2 , ω = k I e ω ' = ω 0 ⋅ 1 - 2 ω 0 τ - 2 , mostrando que nossa expressão para θ t satisfaz nossa equação diferencial. Aplicando ∑ τ = I α para a bobina giratória obtemos

τ r e s t a u r a n d o - τ r e t a r d a n d o = I ⋅ d 2 θ d t 2         1

A magnitude do torque de retardo (amortecimento) é dada por:

τ r e t a r d a n d o = N i B A ⋅ c o s θ

onde i é a corrente induzida na bobina cuja área da seção transversal é A . Substituindo em 1 vamos encontrar

- k θ - N i B A ⋅ c o s θ = I ⋅ d 2 θ d t 2       2

Aplicando a lei de Faraday para expressar a fem induzida na bobina teremos

ε = - d N i B A ⋅ s i n θ d t = - N B A ⋅ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t

Além disso, pela lei de Ohm temos que a magnitude da corrente induzida na bobina é dada por

i = ε R = N B A ⋅ cos ⁡ θ R ⋅ d θ d t

Passo 2

Substituindo em 1 vamos obter

- k θ - N B A 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ R ⋅ d θ d t = I ⋅ d 2 θ d t 2  

Para um deslocamento pequeno do equilíbrio podemos fazer cos ⁡ θ ≈ 1 então

- k θ - N B A 2 R ⋅ d θ d t = I ⋅ d 2 θ d t 2  

Substituindo os valores de ω 0 e τ dados no enunciado e ajustando a equação para tal, poderemos reescrevê-la de modo a obter

d 2 θ d t 2 + 1 τ ⋅ d θ d t + ω 0 2 θ = 0

Assumindo que nossa expressão para θ t dada no enunciado é solução da nossa equação diferencial vamos ter

d θ d t = θ 0 ⋅ d e - t 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t d t = - θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ ω ' ⋅ sin ⁡ ω ' t + 1 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t

Além disso,

d 2 θ d t 2 = d - θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ ω ' ⋅ sin ⁡ ω ' t + 1 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t d t

d 2 θ d t 2 = - θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ ω ' 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t - ω ' τ ⋅ sin ⁡ ω ' t - 1 4 τ 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na nossa equação diferencial de modo a obtermos

- θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ ω ' 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t - ω ' τ ⋅ sin ⁡ ω ' t - 1 4 τ 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t + 1 τ ⋅ - θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ ω ' ⋅ sin ⁡ ω ' t + 1 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t + ω 0 2 ⋅ θ 0 ⋅ e - t 2 τ ⋅ cos ⁡ ω ' t = 0

Como θ 0   e   e - t 2 τ nunca serão zero podemos dividir todo mundo por eles de modo a simplificar nossa equação obtendo

- ω ' 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t - 1 4 τ 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t + ω 0 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t = 0

Podemos reescrever como

ω ' 2 - 1 4 τ 2 + ω 0 2 ⋅ cos ⁡ ω ' t = 0

Essa equação é satisfeita desde que

ω ' 2 - 1 4 τ 2 + ω 0 2 = 0

Resolvendo para ω ' temos

ω ' = ω 0 ⋅ 1 - 2 ω 0 τ - 2

Assim, mostramos que a posição angular da bobina oscilante, em relação à sua posição de equilíbrio, varia com o tempo de acordo com θ t , onde as constantes que aparecem nela são dadas como mencionadas no enunciado. Dessa forma, concluímos nosso exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual gráfico da Figura P29.74 representa melhor a corrente i induzida no tecido cerebral em função do tempo t, supondo que esse tecido possa ser modelado como um circuito resistivo?(As unidades de i s
Você está avaliando o desempenho de um eletroímã grande. O campo magnético do eletroímã é zero em t = 0 e aumenta à medida que a corrente fluindo pelos enrolamentos do eletroímã aumenta. Você determin
A figura 30-47 mostra uma espira formada por um ar de semicircunferencias de 3,7c m de raio situadas em planos mutuamente perpendiculares. A espira foi formada dobranco uma espira plana ao longo de um
Para a situação mostrada na Fig. , a = 12c m , b = 16 c m . A corrente no fio longo e reto é dada por i = 4,5A / s 2 r 2 - ( 10A / s ) t. Ache a fem na espira quadrada em t = 3,0s .
Em torno de um núcleo cilíndrico de área de seção transversal 12,2c m 2 são enroladas 125 voltas de fio de cobre isolado. Os dois terminais sāo conectados a um resistor. A resistência total do circuit