Uma bola homogênea de raio r rola sem deslizar desde o topo de um domo hemisférico de raio R . (a) Depois de percorrer que ângulo θ em relação à vertical a bola deixará a superfície? (b) Com que velocidade v isso acontece?

Passo 1

Como queremos saber o ângulo em que a bola perde, basta acharmos o ponto em que a normal é nula.

Na direção radial, teremos a força centrípeta:

m g c o s θ - N = m v 2 R

Como nesse ponto N = 0 :

v 2 = g R c o s θ     ( i )

Conservando energia, temos:

I ω 2 2 + m v 2 2 - 0 = m g R 1 - cos ⁡ θ

Como v = ω R e I b o l a = 2 5 m r 2 :

2 5 m R 2 ⋅ v R 2 2 + m v 2 2 = m g R 1 - cos ⁡ θ

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

m v 2 5 + m v 2 2 = m g R 1 - cos ⁡ θ

De ( i ) v 2 = g R c o s ( θ ) :

7 10 m g R c o s θ = m g R 1 - cos ⁡ θ

Logo,

cos ⁡ θ = 10 17 → θ = cos - 1 ⁡ 10 17

Para a velocidade, temos:

v f = ω R f i n a l

Para o ω :

ω = v R = g R c o s θ R = g c o s θ R = 10 17 g R

Como R f i n a l = r + R :

v f = 10 17 g R ( r + R )

Resposta

v f = 10 17 g R ( r + R )

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