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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 52

Uma bola é lançada a partir do solo com uma certa velocidade. A Fig. 4-45 mostra o alcance R em função ao ângulo de lançamento θ 0 . O tempo de percurso depende do valor de θ 0 ; seja t m á x , o maior valor possível desse tempo. Qual é a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se θ 0 é escolhido de tal forma que o tempo de percurso seja 0,500 t m á x ?

Passo 1

Então galera, nós sabemos que a velocidade da bola vai ser a menor possível quando ela estiver na sua altura máxima, pois neste caso só haverá componente horizontal da velocidade.

Ou seja:

v → = v x 2 + 0 2 = v x

Nós sabemos também que o tempo de percurso pode ser calculado através da fórmula:

t = 2 v 0 sen ⁡ θ 0 g

Sendo assim:

t m á x = 2 v 0 g

t m á x 2 = v 0 g

Isso quer dizer que na metade do tempo ( t m á x / 2 ), temos que t = v 0 / g , logo:

v 0 g = 2 v 0 sen ⁡ θ 0 g

sen ⁡ θ 0 = 1 2

Portanto:

θ 0 = 30 °

Passo 2

Agora precisamos achar a velocidade da componente horizontal , que coincide com a menor velocidade da bola durante o percurso. Temos que:

v x = v 0 ⋅ cos ⁡ θ 0

v x = v 0 ⋅ cos ⁡ 30 °

v x = 0,866 v 0

Agora temos que achar o valor de v 0 e para isso vamos usar o gráfico . O alcance da bola quando θ 0 = 45 ° é 240   m . Sendo assim:

R = v 0 2 g sen ⁡ 2 θ

240 = v 0 2 9,8

v 0 = 48,5   m/s

Logo:

v x = 0,866 48,5   m/s

v x = 42   m/s

Portanto a velocidade mínima será:

v m i n = 42   m/s

Resposta

v m i n = 42   m/s

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