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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 36

Estime a distância a que você pode jogar uma bola se você a jogar (a) horizontalmente ao nível do solo, (b) Com θ = 45 ° acima da horizontal, enquanto está de pé no nível do solo, (c) horizontalmente a partir do topo de um prédio com 12   m de altura, (d) Com θ = 45 ° acima da horizontal a partir do topo de um prédio com 12   m de altura. Ignore os efeitos da resistência do ar.

Passo 1

Como apenas a altura inicial do lançamento está variando, vamos considerar um sistema em que x 0 = 0 em todos os casos:

x = v 0 x t

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2

E então:

x = ( v 0 cos ⁡ θ ) t

y = y 0 + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2

Isolando t na primeira equação e substituindo na segunda:

y = y 0 + tan ⁡ θ x - 1 2 g x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

Precisamos também de uma estimativa para a velocidade inicial de lançamento. Uma pesquisa rápida mostra que um atleta treinado consegue arremessar com v 0 = 40   m / s , então vamos estimar v 0 = 25   m / s para uma pessoa normal.

Passo 2

(a) Nesse caso, como o lançamento é horizontal a partir do nível do solo, temos θ = 0 ° e y 0 = 2,0   m . Para determinar o alcance só precisamos encontrar o valor de x quando y = 0 .

0 = 2,0 + tan ⁡ 0 ° x - 1 2 9,81 x 2 25 2 cos 2 ⁡ 0 °

7,848.10 - 3   x 2 = 2,0

x ≅ 16   m

Passo 3

(b) Dessa vez teremos θ ° = 45 ° e y 0 = 2,0   m :

0 = 2,0 + tan ⁡ 45 ° x - 1 2 9,81 x 2 25 2 cos 2 ⁡ 45 °

0 = - 0,0157   x 2 + x + 2,0

E resolvendo essa equação do segundo grau:

x = - 1 ± 1 2 - ( 4 ) ( - 0,0157 ) ( 2,0 ) ( 2 ) ( - 0 , 0 157 )

x = - 1 ± 1,0609 - 0 , 0 314

E a única solução razoável é x ≅ 6 6   m .

Passo 4

(c) Nesse caso θ = 0 ° e y 0 = 12 + 2 = 14   m , então:

0 = 14 , 0 - 1 2 9,81 x 2 25 2 cos 2 ⁡ 0 °

0 = 14,0 - 0,007848   x 2

E então:

x = 14 0,07848 ≅ 42   m / s

Passo 5

(d) E finalmente temos θ = 45 ° e y 0 = 12 + 2   m = 14,0   m , então:

0 = 14 , 0 + tan ⁡ 45 ° x - 1 2 9,81 x 2 25 2 cos 2 ⁡ 45 °

0 = - 0,0157   x 2 + x + 14 , 0

E resolvendo essa equação do segundo grau:

x = - 1 ± 1 2 - ( 4 ) ( - 0,0157 ) ( 14 , 0 ) ( 2 ) ( - 0,0157 )

x = - 1 ± 1,371 - 0,0314

E a única solução razoável é x ≅ 75   m .

Resposta

(a) x = 16   m .

(b) x = 66   m .

(c) x = 42   m .

(d) x = 76   m .

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