Enunciado

Bombardeio com próton. Um próton com massa igual a 1,67   × 10 - 26   k g é impulsionado com uma velocidade inicial de 3,0 x 105 m/s diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância de 5,0 m. O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força com módulo F x   =   α / x 2 , onde x é a distância entre as duas partículas e α   =   2,12   × 10 - 26   N   m 2 . Suponha que o núcleo de urânio permaneça em repouso.

a) Qual é a velocidade do próton quando ele está a uma distância de 8,0 x10-10 m do núcleo de urânio?

b) À medida que o próton se aproxima do núcleo de urânio, a força de repulsão faz sua velocidade diminuir até ele ficar momentaneamente em repouso, depois passando a se afastar do núcleo de urânio. Qual é a distância mínima entre o próton e o núcleo de urânio?

c) Qual é a velocidade do próton quando ele está novamente a uma distância de 5,0 m do núcleo de urânio?

Passo 1

Primeiramente, vamos relacionar a equação que temos com outras que já conhecemos e que possa nos fornecer o resultado. Sabemos que:

F x = α x 2 e F   =   m a

Igualando as duas equações a fim de encontrar o valor da aceleração teremos:

  m a = α x 2

Uma vez que sabemos a aceleração podemos usar a equação de Torricelli e encontrar a velocidade final e resolver o problema. Bem básico não é mesmo?

Passo 2

Agora vamos substituir os valores uma equação por vez!

F x = 2,12 . 10 - 26 ( 8 . 10 - 10 ) 2

F x = 0,033.10-6 N

Aplicando a 2º Lei de Newton:

F x = m a

0,033 . 10 - 6   =   1,67 . 10 - 27   a

a   =   0,2 × 10 20   m / s 2

Passo 3

Conhecendo a aceleração usaremos Torricelli!

  v 2 =   v 0 2   +   2 a ∆ S

Onde ∆S será −8.10-10 pois a força é de repulsão e o trabalho também apresentará valor negativo, então

v 2 = (3.105 )2 + 2.0,2.1020. (−8.10-10)

v 2 =   9 . 10 10   –   3,2 . 10 10

v =   5,8 . 10 10

v =   3,41 . 10 10   m / s

Passo 4

O trabalho pode ser escrito em função da variação de energia cinética, porém sabemos pelo problema que a energia cinética final é zero, logo:

W   =   E c 2   –   E c 1

E c 2 = 0

W   =     –   E c 1

Além disso, sabemos que o trabalho também pode ser escrito em função da integral da força pela distancia, então teremos:

W = ∫ x 1 x 2 F x d x

Fx= α x 2

W = ∫ x 1 x 2 α x 2 d x

Resolvendo a integral encontraremos uma relação importante de trabalho com x1 e x2:

W = α x 2 α x 1

Comparando as duas equações do trabalho podem relaciona – las da seguinte forma:

W = Ec2 – Ec1

W = α x 2 α x 1

− Ec1 = − α x 1

Sabendo então a fórmula da energia cinética, substituímos na equação acima e posteriormente isolamos o termo referente a distancia.

m v 2 2 = α x

x = 2 α m v 2

Agora a parte mais simples que é só substituir os valores e resolver!

x = 2 α m v 2

x = 2.2,12 . 10 - 26 1,67 . 10 - 27 ( 3 . 10 5 ) 2

x = 2,82 . 10-10 m

Passo 5

Agora pra acabar, vamos resolver a letra (c)

Tanto a energia cinética quanto a velocidade serão as mesmas, já que a força repulsiva é restauradora, ou seja, se manter as mesmas condições anteriores do inicio do problema ela terá o mesmo valor.

Resposta

  1. A velocidade é igual a 3,41.105 m/s
  2. A distância é de 2,82 . 10-10 metros.
  3. A velocidade é igual a 3,0 m/s.
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