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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 4

No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, m 1 = 1   K g   e   m 2 = 2 K g . a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias do teto são l 1   e   l 2 . Usando conservação de energia, calcule as velocidades de m 1   e   m 2 depois que m 2 desceu uma distância x 2 . b) Calcue a partir daí as acelerações a 1   e   a 2 das duas massas. c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.

Passo 1

  1. Inicialmente é necessário observar que pela quantidade de cabo ser a mesma sempre, além disso um deslocamento da massa 2 requer metade da quantidade de cabo para um mesmo deslocamento da massa 1. Por exemplo : pra conservar a quantidade cabo se m 2 descer 10 cm, m 1   subirá 5 cm. Fica assim

Δ l 2 2 =   - Δ l 1

x 2 =   - 2 x 1

Como para cada instante de tempo m 2 percorre o dobro de m 1 então

V 2 =   - 2 V 1

Vamos pensar na conservação de energia agora

Δ E = 0

Δ K =   - Δ U

Abrindo os termos em função da energia cinética e potencial de cada bloco temos

K m 2 + K m 1 - K 0 m 2 + K 0 m 1 ⏟ 0 = U 0 m 2 + U 0 m 1 - U m 2 + U m 1

Vamos agora substituir as variáveis, onde K = m v 2 2 e U = m g h

1 2 ( m 2 V 2 2 + m 1 V 1 2 ) = -   g   ( m 2 Δ h 2 + m 1 Δ h 1 )

Vamos usar agora nossas equações do começo, show?

  • Δ h 2 = x 2   ,     Δ h 1 = x 1

1 2 ( m 2 ( 4 V 1 2 ) + m 1 V 1 2 ) =   - g m 2 x 2 + m 1 - x 2 2

V 1 2 2 4 m 2 + m 1 =   - x 2 g m 1 2 - m 2

Isolando a velocidade ao quadrado,

V 1 2 =   - 2 g x 2 m 1 2 - m 2 4 m 2 + m 1  

Agora é só substituir os valores das massas

V 1 2 = 2   .   1,5   .     g   .     x 2 9

Finalmente,

V 1 = g x 2 3

Usando novamente nossa relação incial entre as velocidades, temos que

V 2 = 4 3 g x 2

Passo 2

  1. Pelo teorema do trabalho – energia cinética, no corpo 2 temos

    2. W 2 r e s = Δ K 2

    m 2 a 2 x 2 = m 2 V 2 2 2

    a 2 x 2 = 2 3 g x 2

    a 2 = 2 3 g

    Para o corpo 1 basta utilizarmos nossas relações anteriores

    V 2 =   - 2 V 1

    d V 2 d t =   - 2 d V 1 d t

    a 2   =   - 2 a 1

    a 1 = - a 2 2

    = - g 3

    Passo 3

  2. Vamos escrever a lei de Newton para cada corpo

m 2 a 2 = m 2 g - T m 1 a 1 = m 1 g - 2 T

Isolando T na equação 1 temos,

T = m 2 g - a 2

Colocando na equação 2 fic assim

m 1 g - a 1 = 2 m 2 g - a 2

Usando nossa formulinha da letra anterior em que a 2   =   - 2 a 1 , fica assim ó

m 1 g - a 1 = 2 m 2 g + ( 2 a 1 )

4 m 2 a 1 + m 1 a 1 = m 1 g - 2 m 2 g

a 1 = g m 1 - 2 m 2 4 m 2 + m 1

a 1 = - 3 g 9 =   - g 3

Substituindo do volta,

a 2 =   - 2 a 1 = 2 g 3

Matamos! Das duas maneiras deu certo.

Resposta

a )   V 1 = g x 2 3   e   V 2 = 4 3 g x 2

b )   e   c )   a 1 =   - g 3     e     a 2 = 2 g 3

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