Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 69
Uma caixa de que está a centenas de metros acima da superfície da terra é suspensa pela ponta de uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, dependente do tempo, é aplicada à ponta superior da corda e resulta em uma tensão de sobre a corda. A caixa está em repouso em . As únicas forças sobre a caixa são a tensão sobre ela e a gravidade. (a) Qual é a velocidade da caixa em (i) e (ii) ? (b) Qual é a distância máxima que a caixa desce abaixo de sua posição inicial? (c) Em que valor de a caixa retorna à sua posição inicial?
Passo 1
Fala pessoal, bora resolver um probleminha de dinâmica?
O primeiro passo é definir um sistema de coordenadas. Vou definir um eixo com origem na posição inicial da caixa e que aponta para baixo. Com isso:
Portanto,
Logo,
Isolando a aceleração nós achamos
Passo 2
Integrando essa expressão entre e nós achamos a função velocidade:
Como , segue que
Para achar a função posição integramos novamente:
Como (por escolha discutida no passo 1), temos que
Substituindo , e , achamos
Passo 3
Para temos
Já para :
Para encontrar a distância máxima que a caixa desce basta achar o máximo da função ! Primeiro achamos os pontos críticos fazendo :
A aceleração é
Assim,
O ponto de máximo ocorre quando a segunda derivada, isto é, a aceleração é negativa. Logo, corresponde a um ponto de máximo! A distância correspondente é
Logo,
Passo 4
Por fim, vamos achar quando a caixa retorna para a posição inicial :
As soluções dessa equação são
Como é o instante inicial, a caixa retorna à posição inicial em