Calcule o comprimento de onda (a) de um fóton uma energia de 1,00   e V ; (b) de um elétron com uma energia de 1,00   e V ; (c) de um fóton com uma energia de 1,00   G e V ; (d) de um elétron com uma energia de 1,00   G e V .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o comprimento de onda de fótons e elétrons com diferentes energia. Sabemos que

λ = h p

Para os fótons,

p = E c ⇒ λ = h c E

Vamos fazer os itens (a) e (c) primeiro, usando que h c = 1240   e V   n m :

λ = 1240   e V   n m 1,00   e V = 1240   n m = 1,24   μ m

Já no item (c):

λ = 1240   e V   n m 1,00 ⋅ 10 - 9   e V = 1240 ⋅ 10 - 9   n m = 1,24   f m

Passo 2

Agora vamos fazer o item (b). Nesse caso, a energia cinética do elétron é K = 1,00   e V que é bem menor que a energia de repouso ( m c 2 = 511   k e V ), de modo que podemos usar a relação clássica entre energia e momento:

K = p 2 2 m ⇒ p = 2 m E

Assim,

λ = h 2 m E = h c 2 m c 2 E

Portanto,

λ = 1240   e V   n m 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 1,00   e V = 1,23   n m

Passo 3

Por fim, vamos para o item (d). Note que aqui você não repetir o que fizemos no item (b) pois agora a energia cinética K = 1,00   G e V do elétron é bem maior que a energia de repouso. Aqui vamos ter que recorrer à relatividade!

A energia total (cinética + repouso) é dada por

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Por outro lado,

E = K + m c 2

Assim,

K + m c 2 2 = K 2 + 2 K m c 2 + m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

Logo,

p c 2 = K 2 + 2 K m c 2 ⇒ p c = K 2 + 2 K m c 2

Usando m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V e K = 1,00 ⋅ 10 9   e V :

p c = 1,00 ⋅ 10 18   e V 2 + 2 ⋅ 1,00 ⋅ 10 9   e V ⋅ 511 ⋅ 10 3 = 1,00 ⋅ 10 9   e V

Portanto,

λ = h p = h c p c = 1240   e V   n m 1,00 ⋅ 10 9   e V = 1240 ⋅ 10 - 9   n m = 1,24   f m

Note que nesse caso a energia do elétron é tão praticamente que vale a aproximação:

p ≈ E c

Resposta

1,24   μ m

1,23   n m

1,24   f m

1,24   f m

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