Enunciado

O campo elétrico dentro de uma esfera não condutora de raio R , contendo uma densidade uniforme de carga, está radialmente dirigida e tem a intensidade

E = q r 4 π ϵ 1 R 3 .

onde q é a carga total sobre a esfera e r é a distância a partir do centro da esfera. (a) Encontre o potencial V dentro da esfera, supondo que V = 0 quando r = 0 . (b) Qual a diferença no potencial elétrico entre um ponto sobre a superfície e o centro da esfera? Se q é positivo, qual ponto tem o maior potencial? (c) Mostre que o potencial na diståncia r a partir do centro onde r < R , é dada por

v = q 3 R 2 - r 2 8 π ϵ 0 R 3 . 

onde o potencial zero é adotado para r = ∞ . Por que este resultado difere daquele da parte ( a ) ?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Encontre o potencial V dentro da esfera, supondo que V = 0 quando r = 0 , então começaremos integrando 😊

(a)  V = - ∫ E d r ,  então

V = - ∫ 0 r   q r 4 π ϵ 0 R 3 d r = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3 .

Passo 2

(b)  Δ V = q / 8 π ϵ 0 R .

Passo 3

(c) Se em vez de V=0 em r=0 como foi feito na parte (a) tomarmos V=0 em r = ∞ , então V = q / 4 π ϵ 0 R na superfície da esfera. A nova expressão para o potencial dentro da esfera se parecerá com V = V ' + V s , onde V ' é a resposta da parte (a) e V s é uma constante para que o potencial de superfície esteja correto. Então

V s = q 4 π ϵ 0 R + q R 2 8 π ϵ 0 R 3 = 3 q R 2 8 π ϵ 0 R 3

E então V = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3 + 3 q R 2 8 π ϵ 0 R 3 = q 3 R 2 - r 2 8 π ϵ 0 R 3

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Resposta

a . - q r 2 8 π ϵ 0 R 3 .

b. q / 8 π ϵ 0 R .

c. q 3 R 2 - r 2 8 π ϵ 0 R 3

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