Enunciado

Um capacitor cilíndrico possui as seguintes características: comprimento igual a 10   c m , raio da placa interna igual a 1,0   c m e raio da placa externa igual a 2,0   c m . Calcule:

a) a sua capacitância;

b) a intensidade do campo em pontos equidistantes das duas placas, quando o capacitor tem carga de 0,10   μ C .

Passo 1

Para o capacitor cilíndrico, a capacitância é dada por

C = 2 π ϵ 0 h ln ⁡ b a

Nessa expressão, h = 10   c m = 0,10   m é o comprimento, a = 1,0   c m = 1,0 ⋅ 10 - 2   m é o raio interno e b = 2,0   c m = 2,0 ⋅ 10 - 2   m é o raio externo. Assim,

ln ⁡ b a = ln ⁡ 2

Usando ϵ 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2 , temos que

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 0,10 ln ⁡ 2

Fazendo as contas:

C = 8,02 ⋅ 10 - 12   F

Passo 2

Para achar o campo na região entre as placas nós usamos a lei de Gauss. Isso é feito e discutido no próprio livro quando ele aborda o problema do capacitor e a expressão encontrada é

E = Q 2 π ϵ 0 h ⋅ 1 r

Note que podemos escrever

2 π ϵ 0 h = C ln ⁡ b a = C ln ⁡ 2

Assim,

E = Q C ln ⁡ 2 ⋅ 1 r

Para um ponto equidistante das duas placas:

r = a + b 2 → E = 2 Q C ln ⁡ 2 ⋅ 1 a + b

Substituindo os valores:

E = 2 ⋅ 0,10 ⋅ 10 - 6 8,02 ⋅ 10 - 12 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ 1 0,01 + 0,02

Portanto,

E = 1,2 ⋅ 10 6   N / C

Resposta

C = 8,02 ⋅ 10 - 12   F

E = 1,2 ⋅ 10 6   N / C

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