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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 27

Um capacitor cilíndrico tem raios a e b , conforme indicado na Fig. 30-6. Mostre que metade da energia elétrica potencial acumulada permanece dentro de um cilindro cujo raio é

r = a b . 

Passo 1

Há trabalho suficiente neste problema sem derivar novamente o campo elétrico entre os cilindros carregados. Em vez disso, irei encaminhá-lo de volta à Seção 26-4 e declarar

E = 1 2 π ϵ 0 q L r ]

onde q é a magnitude da carga em um cilindro e L é o comprimento dos cilindros.

A densidade de energia em função da distância radial é encontrada na Eq. 30-28,

u = 1 2 ϵ 0 E 2 = 1 8 π 2 ϵ 0 q 2 L 2 r 2

A energia total armazenada no campo elétrico é dada pela Eq. 30-24,

U = 1 2 q 2 C = q 2 2 l n ⁡ ( b / a ) 2 π ϵ 0 L

Passo 2

onde substituímos na última parte a Eq. 30-11, a capacitância de um capacitor cilíndrico.

Queremos mostrar que a integração de uma integral de volume de r = a para r = a b sobre a função de densidade de energia resultará em U/2. Como queremos resolver esse problema da maneira mais difícil, vamos fingir que não sabemos a resposta e integrar de r=a até r=c, e então descobrir o que é c.

Então

1 2 U = ∫ u d V

= ∫ a c   ∫ 0 2 π   ∫ 0 L   1 8 π 2 ϵ 0 q 2 L 2 r 2 r d r d ϕ d z , = q 2 8 π 2 ϵ 0 L 2 ∫ a c   ∫ 0 2 π   ∫ 0 L   d r r d ϕ d z , = q 2 4 π ϵ 0 L ∫ a c   d r r , = q 2 4 π ϵ 0 L l n ⁡ c a .

Agora, igualamos isso ao valor de U que encontramos acima e resolvemos para c

1 2 q 2 2 l n ⁡ ( b / a ) 2 π ϵ 0 L = q 2 4 π ϵ 0 L l n ⁡ c a

l n ⁡ ( b / a ) = 2 l n ⁡ ( c / a )

( b / a ) = ( c / a ) 2

a b = c

Resposta

a b = c

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