Enunciado

Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Uma carga Q de mesmo sinal que as outras três é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e sentido).

Passo 1

Temos que achar a força resultante! Então, primeiro vamos colocar todas as forças que estão atuando sobre na carga Q. Como as cargas possuem o mesmo sinal os vetores da força eletrostática apontam para fora:

Como é um triângulo equilátero, temos que a carga Q está a uma distância d   de todas as outras cargas. Vamos colocar essa distância em função do lado a .

Passo 2

Pelas propriedades do triangulo equilátero, temos que a sua altura é igual a h = a 3 2 . E como a carga Q está bem no seu centro a sua distância da metade de um dos lados é de h 3 .

Pelo teorema de Pitágoras da distância d = h 3 2 + a 2 2 =       3   a 3 .

Passo 3

Como queremos achar a força resultante:

F R → = F 1 → +   F 2 → + F 3 →

Vamos escrever as componentes das forças na direção x ^ e   y ^ :

  F 1 →   = - 1 4 π ϵ 0 Q q d 2   sin ⁡ θ   x ^ + 1 4 π ϵ 0 Q q d 2 cos ⁡ θ   y ^

F 2 →   = - 1 4 π ϵ 0 2 Q q d 2   y ^

F 3 →   = 1 4 π ϵ 0 3 Q q d 2   sin ⁡ θ   x ^ + 1 4 π ϵ 0 3 Q q d 2 cos ⁡ θ   y ^

Onde θ = 60 ° por ser um triângulo equilátero.

Passo 4

Calculando a força resultante na direção y ^ :

F R y → = F 1 y → + F 2 y → +   F 3 y →

F R y =   1 4 π ϵ 0 Q q d 2 cos ⁡ θ   - 1 4 π ϵ 0 2 Q q d 2 +   1 4 π ϵ 0 3 Q q d 2 cos ⁡ θ =   1 4 π ϵ 0 4 Q q d 2 cos ⁡ θ - 1 4 π ϵ 0 2 Q q d 2    

Onde θ = 60 ° , então , cos ⁡ θ = 1 2 :

F R y = 1 4 π ϵ 0 4 Q q d 2 1 2   - 1 4 π ϵ 0 2 Q q d 2 = 0

Ou seja, a força resultante da direção vertical é nula. Vamos ver se a força resultante tem componente horizontal

Passo 5

Calculando as componentes na direção x ^ :

F R x → = F 1 x → + F 3 x →  

Substituindo os valores:

F R x = - 1 4 π ϵ 0 Q q d 2   sin ⁡ θ     +   1 4 π ϵ 0 3 Q q d 2   sin ⁡ θ   =   2 4 π ϵ 0 Q q d 2   sin ⁡ θ    

Como θ = 60 ° , assim sin ⁡ θ   = 3 2

F R x =   2 4 π ϵ 0 Q q 3   a 3 2   3 2 =   3 3 4 π ϵ 0 Q q a 2

Com isso, a força resultante só possui componente na direção x ^

F R → =     3 3 4 π ϵ 0 Q q a 2   x ^

Resposta

O módulo da força resultante é   3 3 4 π ϵ 0 Q q a 2 , sua direção é na horizontal e para direita.

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