Enunciado

Um carrinho de brinquedo elétrico é colocado sobre um estreito trilho circular de 60 cm de diâmetro, cuja ranhura força-o a se mover em um círculo. O trilho, de 1,0 kg, é livre para girar em torno de um eixo vertical sem atrito. As hastes radiais do trilho possuem massas desprezíveis. Após o carrinho ser ligado, ele logo atinge uma rapidez final constante de 0,75 m/s em relação ao trilho. Qual é, então, a velocidade angular do trilho, em rpm?

Passo 1

O carro de brinquedo é uma partícula localizada na borda da pista. A pista é um aro cilíndrico girando em torno de seu centro, que é um eixo de simetria. Nenhum torque líquido está presente na pista; portanto, o momento angular do carro e da pista é conservado.

Vamos visualizar a situação:

Nós conhecemos r = 30   c m m = 200   g M = 1,0   k g v c = 0,75 m s   e m   r e l a ç ã o   a o   t r i l h o , e queremos encontrar então ω t .

Passo 2

A velocidade constante de 0,75   m / s do carro de brinquedo em relação à pista significa que:

v c - v t = 0,75   m / s

⇒ v c = v t = 0,75   m / s ,

onde t v é a velocidade de um ponto na pista no mesmo raio do carro. Conservação do momento angular implica que:

L i = L f

0 = I c ω c + I t ω t = m r 2 ω c + M r 2 ω t = m ω c + M ω t

Os estados inicial e final se referem a antes e depois que o carro de brinquedo foi ligado. A tabela 12.2 foi usada para a pista.

Passo 3

Desde que ω c = v c r , ω t = v t r ,   nós temos que:

0 + m v c + M v t

⇒ m v t + 0,75 m s + M v t = 0

⇒ v t = - M m + M 0,75 m s = - 0,200   k g 0,200   k g + 1,0   k g 0,75 m s = - 0,125   m / s

O sinal de menos indica que a pista está se movendo na direção oposta do carro. A velocidade angular da pista é

ω t = v t r = 0,125 m s 0,30   m = 0,417 r a d s     s e n t i d o   h o r á r i o

Convertendo para rpm, fazemos:

ω t = 0,417 r a d s r e v 2   π r a d 60 s m i n = 4   r p m

A velocidade da pista é menor que a do carro, porque é mais massiva.

Resposta

4   r p m

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