Um carro de 1125 kg e uma caminhonete de 2250 kg se aproximam de uma curva na estrada que possui raio 225 m. a) A que ângulo o engenheiro deve inclinar essa curva, de modo que

veículos com deslocamento de 65,0 mi/h possam contorná-la com segurança, seja qual for o estado dos pneus? A caminhonete mais pesada deve seguir mais lentamente do que o carro mais leve? b) Considerando que o carro e a caminhonete fazem a curva a 65,0 mi/h, ache a força normal sobre cada veículo em função da superfície da estrada.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um carro de 1125   k g e uma caminhonete de 2250   k g se aproximam de uma curva na estrada que possui raio R = 225   m .

Queremos calcular o ângulo em que o o engenheiro deve inclinar essa curva de modo que

veículos com deslocamento de 65,0   m i / h possam contorná-la com segurança.

Para isso, devemos decompor as forças que atuam no veículo quando este passa pela curva e aplicar a segunda Lei de Newton:

F r = m a

Onde F r é a força resultante, m é massa e a é a aceleração.

Também queremos encontrar a força normal N sobre cada veículo em função da superfície da estrada dado que o carro e a caminhonete fazem a curva a 65,0   m i / h .

Para isso, também utilizaremos o diagrama de corpo livre que vamos fazer para decompor as forças.

Passo 2

Vamos assumir o atrito insignificante... então as únicas duas forças que atuam sobre o carro são seu peso e a força normal.

Como a estrada é inclinada, a força normal (que atua perpendicularmente à superfície da estrada) possui um componente horizontal.

Esse componente provoca a aceleração horizontal do carro em direção ao centro da trajetória curva do carro.

Como forças e aceleração estão envolvidas, usaremos a 2º lei de Newton para encontrar o ângulo que chamaremos de β .

Vamos esboçar o diagrama de corpo livre nesse caso para visualizarmos melhor:

Passo 3

Vamos aplicar a 2º Lei de Newton:

Para o e i x o   x :

∑ F x = N ⋅ sen ⁡ β = m ⋅ a c e n t r

Para o e i x o   y :

∑ F y = N ⋅ cos ⁡ β + - m ⋅ g = 0

⇒ N = m ⋅ g cos ⁡ β

Substituindo N = m ⋅ g cos ⁡ β na equação ∑ F x = N ⋅ sen ⁡ β , encontramos uma expressão para o ângulo de inclinação:

∑ F x = m ⋅ g cos ⁡ β ⋅ sen ⁡ β

tan ⁡ β = a c e n t r g

Passo 4

E sabemos que:

a c e n t r = v 2 R

Onde a c e n t r é a aceleração centrípeta e v é a velocidade.

Substituindo essa aceleração na equação do ângulo de inclinação que encontramos, tan ⁡ β = a c e n t r g , obtemos:

tan ⁡ β = v 2 g R

Passo 5

  1. Vamos analisar os dados:
  2. D a d o s :   v = 65,0 m i / h = 29,1 m / s R = 225 m g = 9,8 m / s 2

    tan ⁡ β = ( 29,1 m / s ) 2 9,8 m / s 2 ⋅ 225 m

    β = tan - 1 ⁡ 0,3840

    β = 21 °

    Note que: A expressão para t a n β   não envolve a massa do veículo, para que o caminhão e o carro viajem na mesma velocidade.

    Passo 6

    Nós encontramos a expressão da força normal, N :

    N = m ⋅ g cos ⁡ β

    Então vamos calcula-la em função do carro e do caminhão.

Para o carro:

D a d o s :   m c a r r o = 1125 k g g = 9,8 m / s 2

N = m ⋅ g cos ⁡ β

N c a r r o = 1125 k g ⋅ 9,8 m / s 2 cos ⁡ 21 °

N c a r r o = 1,18 × 10 4 N

Passo 6

Para o caminhão:

D a d o s :   m c a m i n h ã o = 2250 k g g = 9,8 m / s 2

Note que a massa do caminhão é o dobro da massa do carro:

m c a m i n h ã o = 2 ⋅ m c a r r o

Assim,

N c a m i n h ã o = 2 ⋅ N c a r r o

N c a m i n h ã o = 2 ⋅ 1,18 × 10 4 N

N c a m i n h ã o = 2,36 × 10 4 N

O componente vertical da força normal deve ser igual ao peso do veículo, de modo que a força é proporcional a massa.

Resposta

  1. β = 21 °
  2. N c a r r o = 1,18 × 10 4 N

N c a m i n h ã o = 2,36 × 10 4 N

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