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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 56

Uma roda-gigante no Japão possui um diâmetro de 100 m . Ela faz uma revolução a cada 60 segundos. a) Calcule a velocidade de um passageiro quando a roda-gigante gira a essa taxa.

b) Um passageiro pesa 882 N em uma balança no solo. Qual é seu peso aparente no ponto mais alto e no ponto mais baixo da roda-gigante? c) Qual deveria ser o tempo de uma revolução para que o peso aparente no ponto mais alto fosse igual a zero? d) Nesse caso, qual deveria ser o peso aparente no ponto mais baixo?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma roda-gigante no Japão possui um diâmetro de 100 m . Ela faz uma revolução a cada 60   segundos.

Queremos calcular a velocidade de um passageiro quando a roda-gigante gira a essa taxa.

Também temos outras perguntinhas relacionadas ao peso de um passageiro de 882 N (considerando uma balança no solo).

Para resolvermos isso, temos que fazer um diagrama de corpo livre do sistema e analisar as forças que estão atuando no corpo.

Também, utilizaremos também a segunda Lei de Newton:

F r = m a

Onde F r é a força resultante, m é massa e a é a aceleração.

Obs: lembre-se que a força peso P é dada pelo produto da massa m pela aceleração da gravidade g :

P = m g

Passo 2

Bom... O peso aparente de uma pessoa é a força normal exercida sobre ele pelo assento que está sentado, ou seja, aplicando a segunda lei de Newton sobre ele, temos que a massa é:

∑ F = m a

⇒ m = P g = 882 N 9,8 m / s 2 = 90 k g

Sabemos que a aceleração é centrípeta, então ela é:

a c e n t r = v 2 R

Onde v é a velocidade e R é o raio.

Temos que o diâmetro é d = 100 m , então o raio se dá por:

R = d 2 = 100 m 2 = 50 m

Também temos que o período, T , é igual a 60 s .

Mas também sabemos que:

T = 2 π R v

Passo 3

  1. Bom, agora nós vamos expressar v em termos do período, T , para encontrar e a velocidade do passageito na roda gigante:

    2. v = 2 π R T

    v = 2 π ⋅ 50 m 60 s = 5,24 m / s

    Note que sua aceleração é:

    a c e n t r = ( 5,24 m / s ) 2   50 m = 0,5549 m / s 2

    Passo 4

  2. Vamos esboçar o diagrama de corpo livre para a pessoa no topo de seu caminho:

    3. Observe que a aceleração é para baixo, então vamos tomar como + y para baixo.

    Temos forças atuando somente no e i x o   y , então plicando a segunda lei de Newton sobre o corpo, temos que:

    ∑ F y = m a y

    m g - N = m a c e n t r

    ⇒ N = m ( g - a c e n t r )

    Portanto,

    N = 90 k g ⋅ ( 9,8 m / s 2 - 0,549 m / s 2 ) = 833 N  

    Passo 5

    Ok!

    Agora, vamos esboçar o diagrama de corpo livre para a pessoa na parte inferior de seu caminho:

    Aqui, temos que a aceleração é para cima, então vamos toma-la como + y .

    Novamente, temos forças atuando somente no e i x o   y , então plicando a segunda lei de Newton sobre o corpo nesse ponto, temos que:

    ∑ F y = m a y

    N - m g = m a c e n t r

    ⇒ N = m ( g + a c e n t r )

    N = 90 k g ⋅ ( 9,8 m / s 2 + 0,549 m / s 2 ) = 931 N

    Passo 6

  3. Supondo que o peso no ponto mais alto seja seja, isso impica que a sua força normal também seja igual a zero. E então:

m g = m a c e n t r

⇒ m g = m v 2 R

⇒ g = v 2 R

Em termos da velocidade, v , temos que:

v = g R

v = 9,8 m / s 2 ⋅ 50 m

v = 22,1 m / s

Passo 4

O tempo de uma revolução seria, então:

T = 2 π ⋅ 50 m 22,1 m / s = 12,2 s

Passo 5

Então para calcular o peso apararente quando está no ponto inferior, utilizamos a seguinte relação:

N = m g + a c e n t r = 2 m g = 2 ⋅ 882 N = 1760 N

Duas vezes o seu verdadeiro peso.

Resposta

  1. v = 2 π ⋅ 50 m 60 s = 5,24 m / s
  2. No ponto mais alto: N = 90 k g ⋅ ( 9,8 m / s 2 - 0,549 m / s 2 ) = 833 N  

    3. No ponto mais baixo:

    N = 90 k g ⋅ ( 9,8 m / s 2 + 0,549 m / s 2 ) = 931 N

  3. T = 12,2 s
  4. 1760 N
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