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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 35

35. Um carrossel com 5,0   m de diâmetro está girando inicialmente com um período de 4,0   s . Ele desacelera e para em 20   s .

  1. Antes do carrossel desacelerar, qual é a rapidez de uma criança situada na sua borda?
  2. Quantas revoluções o carrossel completa até parar?

Passo 1

Nesse primeiro passo vamos definir as informações que temos para facilitar na hora que fomos usá-las.

θ 0 = 0 ,         t 0 = 0 ,         ω 0 = 2 π T = 2 π 4   s = 1,57   r a d / s ,       v 0 =   ?

θ 1 = ? ,         t 1 = 20   s ,         ω 1 = 0 ,       v 1 =   0

Ah, vamos lembrar da equação que relaciona a aceleração angular a aceleração tangencial pois ela será bem útil.

a t = r α

Agora com tudo definidinho, vamos lá!

Passo 2

a ) Quando o enunciado pede a rapidez ele quer saber a velocidade tangencial do carrossel nesse momento. Vimos na equação 4.32 como achar essa velocidade, ou seja:

v t = ω r = 2 π T   r

O enunciado nos dar o período ( T ) e nos dar o diâmetro que nos permite saber quem é o raio ( r ) , sendo assim:

v 0 = 2 π T r = 2 π 4   s 2,5   m = ( 1,57   r a d / s ) 2,5   m = 3,9   m / s

Passo 3

b )   Quantas revoluções até parar? Vamos pensar com calma no que sabemos.

Sabemos que o carrossel diminui sua velocidade angular de 1,57   r a d / s para 0 em 20   s .

Sabemos também relacionar r e v a r a d .

Então, para resolver essa questão vamos usar as equações da cinemática rotacional mostrada na parte 4.43 para descobrir θ 1 .

Então:

θ 1 = θ 0 + ω 0 t 1 - t 0 + 1 2 α t 1 - t 0 2

Vimos no Passo 1 como fazer uma relação de α com a t e r . Ou seja:

θ 1 = θ 0 + ω 0 t 1 - t 0 + a t 2 r t 1 - t 0 2

Substituindo o que temos:

θ 1 = 0 + ( 1,57   r a d / s ) ( 20   s ) + a t 2 2,5   m ( 20   s ) ²

Mas nós não conhecemos a t então vamos usar outra da equação cinemática rotacional para descobrir.

Passo 4

Usaremos a equação:

ω 1 = ω 0 + α t 1 - t 0 = ω 0 + a t 2 r t 1 → a t = - r ω 0 t 1

Substituindo os valores que sabemos:

a t = - r ω 0 t 1 =   - 2,5   m 1,57   r a d / s 20   s =   - 0,197   m / s ²

Vamos voltar para equação final do passo anterior e substituir o que achamos.

Passo 5

Resolvendo:

θ 1 = 0 + 1,57   r a d / s 20   s + - 0,197   m / s ² 2 2,5   m 20   s 2 = 15,6   r a d

Contudo, o exercício quer em revolução, ou seja:

θ 1 = 15,6   r a d 1   r e v 2 π   r a d = 2,49   r e v

Prontinho e tudo certo!

Resposta

a ) v 0 = 3,9   m / s

b )   θ 1 = 2,49   r e v

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