Durante certo intervalo de tempo, a posição angular de uma porta giratória é descrita por θ =   5,00   +   10,0   t   +   2 , 00   t 2 , onde θ é dado em radianos e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração angulares da porta 

a. em t = 0 e

b. em t = 3,00 s.

Passo 1

a.A posição angular é exatamente o ângulo θ nesse instante. Assim, a gente vai ter que:

θ =   5,00   +   10,0 ∙ 0   +   2 , 00 ∙ 0 2

∴ θ = 5,00   r a d

A velocidade angular ω é dada pela derivada da posição angular, de modo análogo com a posição e a velocidade lineares. Nisso, derivando a função θ ( t ) , a gente tem:

d θ d t = ω =   0   +   10,0   +   2 ∙ 2,00   t

∴ ω =   10,0   +   4 , 00   t

Como a gente quer a velocidade em t = 0   s , a gente vai ter:

ω =   10,0   +   4 , 00 ∙ 0

∴ ω = 10,0   r a d / s

Por fim, a aceleração angular α é exatamente a derivada da velocidade angular ω . Vamos derivar a função ω ( t ) , obtendo:

α =   0   +   4 , 00

∴ α = 4 , 00   r a d / s 2

E como a aceleração angular α independe do tempo t , em qualquer instante ela vai valer o valor calculado!

Passo 2

b.Aqui vamos fazer exatamente o mesmo, mas pra t = 3   s . Bora lá; A gente vai ter:

Pra posição θ :

θ =   5,00   +   10,0 ∙ 3   +   2 , 00 ∙ 3 2

∴ θ = 5 3 , 0   r a d

A velocidade angular ω é dada pela derivada da posição angular, de modo análogo com a posição e a velocidade lineares. Nisso, derivando a função θ ( t ) , a gente tem:

d θ d t = ω =   0   +   10,0   +   2 ∙ 2,00   t

∴ ω =   10,0   +   4 , 00   t

Como a gente quer a velocidade em t = 3   s , a gente vai ter:

ω =   10,0   +   4 , 00 ∙ 3

∴ ω = 22 , 0   r a d / s

Por fim, a aceleração angular α é exatamente a derivada da velocidade angular ω . Vamos derivar a função ω ( t ) , obtendo:

α =   0   +   4 , 00

∴ α = 4 , 00   r a d / s 2

Resposta

a. θ = 5,00   r a d ; ω = 10,0   r a d / s ; α = 4 , 00   r a d / s 2

b. θ = 5 3 , 0   r a d ; ω = 22 , 0   r a d / s ; α = 4 , 00   r a d / s 2

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