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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 1.7 - Ex. 24

Em um centímetro cúbico de uma nuvem cúmulo típica existem de 50 a 500 gotas d'água, com um raio típico de 10 μ m . Para essa faixa de valores, determine os valores mínimo e máximo, respectivamente, das seguintes grandezas:

(a) número de metros cúbicos de água em uma nuvem cúmulo cilíndrica com 3,0   k m de altura e 1,0   k m de raio;

(b) número de garrafas de 1 litro que podem ser enchidas com essa quantidade de água;

(c) a massa da água contida nessa nuvem, sabendo que a massa específica da água é 1000 k g / m 3 .

Passo 1

Belezera galerinha, a primeira coisa que devemos fazer é calcular o volume da nuvem para depois indentificarmos o número de gotas d’água presentes nela . Temos uma nuvem cilíndrica em que seu volume é dado como:

v c i l i n d r o = A b ⋅ H

A área da base é a área de um círculo de raio 1   km = 10 5   cm e a altura também é 1   km = 10 5 cm , logo:

v c i l i n d r o = π r 2 ⋅ H

v c i l i n d r o = π 10 5   cm 2 ⏝ área da base × 3 ⋅ 10 5   cm ⏝ altura  

v c i l i n d r o = 9,4 × 10 15   c m 3  

Passo 2

Como em cada centímetro cúbico temos entre 50 e 500 gotas, o número N de gotas em 9,4 × 10 15   c m 3 vai estar dentro do intervalo:

50   gotas ≤ 1   c m 3 ≤ 500   gotas

Então:

9,4 × 10 15 ⋅ 50   gotas ≤ 9,4 × 10 15   c m 3 ≤ 9,4 × 10 15 ⋅ 500   gotas

4,7 × 10 17   gotas ≤ 9,4 × 10 15   c m 3 ≤ 4,7 × 10 18   gotas

Essa é a mesma variação de N , ou seja, o número de gotas N presentes na nuvem de 9,4 × 10 15   c m 3 está entre 4,7 × 10 17   gotas e 4,7 × 10 18   gotas .

Passo 3

Agora precisamos calcular o volume de cada gota. Considerando a gota de formato esférico, o seu volume pode ser calculado como:

v = 4 π r 3 3

Substituindo as informações do enunciado, considerando que cada gota tem um raio típico de 10   μm = 10 × 10 - 6   m ficamos com:

v = 4 π 10 × 10 - 6 3 3

v = 4,2 × 10 - 15   m 3

Passo 4

Para acharmos o volume total de água presente na nuvem , basta multiplicarmos o número total de gotas pelo volume de cada gota ( V t o t a l = N ⋅ v ). Como a gente tinha o número de gotas variando dessa forma:

4,7 × 10 17 gotas ≤ N ≤ 4,7 × 10 18   gotas

O volume de água vai variar dessa forma:

4,2 × 10 - 15 ⋅ 4,7 × 10 17 ≤ N ⋅ 4,2 × 10 - 15   m 3 ≤ 4,2 × 10 - 15 ⋅ 4,7 × 10 18  

2 × 10 3   m 3 ≤ V t o t a l ≤ 2 × 10 4   m 3

Até aqui tudo bem?

Vamos para o próximo item!!

Passo 5

(b) Bom pessoal, sabemos que 1   m 3 = 1000   L , logo podemos chegar na relação:

2 × 10 3   ⋅ 10 3   L ≤ V t o t a l ≤ 2 × 10 4 ⋅ 10 3   L

∴

2 × 10 6   L ≤ V t o t a l ≤ 2 × 10 7   L

Dessa forma podemos concluir que o número de garrafas de 1 litro que poderíamos encher está entre 2 × 10 6   e 2 × 10 7 garrafas!

Passo 6

(c) Sabemos que a massa específica é dada como:

ρ = m v

Com isso:

m = ρ ⋅ v

Ou seja, podemos obter a massa de água na nuvem utilizando sua massa específica e seu volume através da seguinte relação:

ρ ⋅ v m e n o r ≤ m ≤   ρ ⋅ v m a i o r

Como o volume menor era 2 × 10 3   m 3 e o maior era 2 × 10 4   m³ , logo:

1000   kg/m³ ⋅ 2 × 10 3   m 3 ≤ m ≤ 1000   kg/m³ ⋅ 2 × 10 4   m 3

2 × 10 6   kg   ≤ m   ≤ 2 × 10 7   kg

Logo, a massa de água nessa nuvem varia entre esses valores.

Resposta

(a) 2 × 10 3     m 3 ≤ V t o t a l ≤ 2 × 10 4   m 3

(b) 2 × 10 6   L ≤ V t o t a l ≤ 2 × 10 7   L

(c) 2 × 10 6   kg   ≤ m   ≤ 2 × 10 7   kg

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