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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 19.5 - Ex. 31

Em um certo acelerador de partículas, prótons se movem em uma trajetória circular de 23,0   m de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a 295   K e a uma pressão de 1,00.10 - 6   t o r r . (a) Calcule o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico. (b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás residual se o diâmetro das moléculas é 2,00.10 - 8   c m ?

Passo 1

Bom, o número de moléculas por centímetro cúbico sai tranquilamente pela lei dos gases ideais:

p V = n R T

O n é o número de mols, mas podemos fazer o número de moléculas aparecer aí usando o número de Avogadro:

N = n N A

Beleza, substituindo isso na fórmula, achamos o seguinte:

p V = N N A R T

N V = N A p R T

Passo 2

(a) Agora sim, vamos substituir os valores:

Mas antes vamos converter a pressão para Pascal, esse negócio de torr não vai dar certo:

1,00   .   10 - 6   t o r r = 133   .   10 - 6   P a

E o resto já está pronto pra ser substituído:

N V = N A p R T

N V = 6,02.10 23 133.10 - 6 ( 8 , 31 ) ( 295 )

N V = 3,27   .   10 16   m o l é c u l a s / m 3

Mas cuidado, a questão pediu a resposta em moléculas por centimetro cúbico, é só lembrar que

1 m = 10 2 c m → 1 m 3 = 10 6 c m 3

N V = 3,27   .   10 16 m o l é c u l a s m 3 = 3,27   .   10 16 m o l é c u l a s 10 6 c m 3

3,27   .   10 10   m o l é c u l a s / c m 3

Beleza, vamos em frente.

Passo 3

(b) Agora queremos saber o livre caminho médio das moléculas do gás:

λ = 1 2 π d 2 ( N / V )

O diâmetro d já foi dado no enunciado, e o N / V nós acabamos de calcular,

λ = 1 2 π 2,00.10 - 8 2 ( 3,27.10 10 )

λ = 17207   c m

Ou seja:

λ = 1,72   .   10 4   c m

Resposta

(a) 3,27   .   10 10   m o l é c u l a s / c m 3 .

(b) λ = 1,72   .   10 4   c m .

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