A chave da Fig. 30-15 é colocada na posição a no instante t = 0 . Determine a razão ε L / ε entre a força eletromotriz autoinduzida no indutor e a força eletromotriz da fonte (a) logo após o instante t = 0 ; (b) no instante t = 2,00 τ . (c) Para que múltiplo de τ temos ε L / ε = 0,500 ?

Passo 1

A questão fala sobre um circuito R L no processo de carregamento, em que a corrente está aumentando. No instante t = 0 , a corrente é nula, isto é, i = 0 . Assim, a tensão no resistor ε R = 0 .

Como temos que

ε = ε L + ε R             e             ε R = 0

Segue que

ε = ε L ⇒ ε L ε = 1,00

Isso significa que no instante em que a chave é fechada toda a tensão do circuito está no indutor. Conforme o tempo passa e a corrente cresce, a tensão no resistor cresce e a do indutor diminui, com a soma das duas se mantendo constante!

Passo 2

No item (b), devemos calcular a tensão do indutor em t = 2,00 τ . Para isso, lembre-se que a corrente é dada por

i = ε R 1 - e - t τ

Assim,

ε R = R i = ε 1 - e - t τ

Portanto,

ε L = ε - ε R = ε 1 - 1 + e - t τ = ε e - t τ

Desta forma, com t = 2,00 τ :

ε L ε = e - 2,00 = 0,135

Passo 3

Por fim, no item (c) nós queremos o instante de tempo em que a razão das tensões é 0,500 :

ε L ε = e - t τ

Assim, tomando o log dos dois lados

- t τ = ln ⁡ ε L ε ⇒ t = τ ln ⁡ ε ε L

Desta forma,

t = τ ⋅ ln ⁡ 2 = 0,693 τ

Resposta

1,00

0,135

t = 0,693 τ

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