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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 27.Problemas - Ex. 56

Um ciclotron deve acelerar prótons até uma energia de 5,4 MeV. O eletroímã supercondutor do ciclotron produz um campo magnético igual a 3,5 T com direção perpendicular à órbita do próton. (a) Quando o próton adquire uma energia cinética igual a 2,7 MeV, qual é o raio da órbita e qual é a sua velocidade angular? (b) Repita o item (a) para quando o próton atingir sua energia cinética final de 5,4 MeV.

Passo 1

letra a)

Para descobrirmos o raio da órbita, precisamos igualar a força centrípeta com a força magnética.

q v B = m v 2 R

q B = m v R

R = m v q B

Precisamos antes encontrar a velocidade.

Passo 2

Como a partícula é acelerada a partir de uma diferença de potencial, podemos usar CONSERVAÇÃO DE ENERGIA!

1 2 m v 2 = U

v = 2 U m

v = 2 ⋅ 2,7 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 1,67 ⋅ 10 - 27

v = 2,27 ⋅ 10 7   m / s

Passo 3

Então o raio será:

R = 1,67 ⋅ 10 - 27 ⋅ 2,27 ⋅ 10 7 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 3,5

R = 68 ⋅ 10 - 3   m

Passo 4

Para acharmos a frequência angular, basta lembrarmos que:

ω = v R

ω = 2,27 ⋅ 10 7 68 ⋅ 10 - 3

ω = 3,34 ⋅ 10 8   r a d / s

Passo 5

letra b)

Agora queremos as mesma coisas do item anterior, só que a energia cinética final vale 5,4   M e V .

Ou seja, na conservação de energia teremos:

1 2 m v 2 = U + K

E como U = K :

1 2 m v 2 = 2 U

Então a velocidade irá aumentar em fator de 2 .

v = 2 ⋅ 2,27 ⋅ 10 7   m / s

Passo 6

Então o raio será:

R = 1,67 ⋅ 10 - 27 ⋅ 2 ⋅ 2,27 ⋅ 10 7 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 3,5

R = 96 ⋅ 10 - 3   m

Passo 7

Já a frequência angular será:

ω = v R

ω = 2 ⋅ 2,27 ⋅ 10 7 96 ⋅ 10 - 3

ω = 3,34 ⋅ 10 8   r a d / s

Resposta

letra a) R = 68 ⋅ 10 - 3   m , ω = 3,34 ⋅ 10 8   r a d / s

letra b) R = 96 ⋅ 10 - 3   m , ω = 3,34 ⋅ 10 8   r a d / s

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