Um cilindro comprido, com seu eixo orientado na direção Oz, possui uma densidade de corrente J S . A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação em que a é o raio de cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e I0 é uma constante dada em ampères. (a) Mostre que I0 é a corrente total que passa através da seção reta do fio. (b) Usando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético na região r a. (c) Obtenha uma expressão para a corrente I contida em uma seção reta circular de raio r a e centralizada sobre o eixo do cilindro. (d) Aplicando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético na região r a. Como se comparam os resultados dos itens (b) e (d) para r a?

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui!

Bora!

Letra a:

d I = 2 I 0 π a 2 1 - ( r / a ) 2 2 π r d r = 4 I 0 a 2 1 - ( r / a ) 2 r d r

I = ∫ 0 a   d I = 4 L 0 a 2 ∫ 0 a   1 - r 2 / a 2 ⋅ d r = 4 L 0 a 2 1 2 r 2 - 1 4 r 4 / a 2 0 a = I 0

Passo 2

Letra b:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I

B 2 π r = μ 0 I 0

B = μ 0 I 0 2 π r

Passo 3

Letra c:

De r ' = 0   para   r ' = r :

I = ∫ d I = 4 I 0 a 2 ∫ 0 r   1 - r ' a 2 r ' d r ' = 4 I 0 a 2 1 2 r ' 2 - 1 4 r ' 4 a 2 0 r

I = 4 I 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 = I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2

Passo 4

Letra d:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I

B 2 π r = μ 0 I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2

B = μ 0 I 0 2 π r a 2 2 - r 2 a 2

Resposta

  1. I 0
  2. B = μ 0 I 0 2 π r
  3. I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2
  4. μ 0 I 0 2 π r a 2 2 - r 2 a 2
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