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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 79

79- Integre B x dado pela Equação ( 28.15 ) , desde - ∞ até + ∞ . Ou seja, faça a integral ∫ - ∞ ∞ B x   d x . Explique o significado físico de seu resultado.

Passo 1

Bem, a integral do campo magnético no espaço qualquer, é basicamente o que diz a teoria da Lei de Ampere. Pela equação 28.15 temos:

B x = μ 0 I a 2 2 x 2 + a 2 3 2

Então fazendo a integral desse campo em x nós temos:

∫ - ∞ ∞ μ 0 I a 2 2 x 2 + a 2 3 2   d x

Tirando as constantes da jogada temos:

μ 0 I a 2 2 ∫ - ∞ ∞ 1 x 2 + a 2 3 2 d x

E essa é daquelas integrais onde devemos aplicar a tabela de integrais de funções trigonométricas inversas.

Fazendo a substituição:

x = a   t a n ⁡ ( u )

Nós teremos:

μ 0 I a 2 2 ∫ 1 a 2   s e c ⁡ ( u ) d u

Pois t g 2 u + 1 = sec 2 ⁡ u

Então:

μ 0 I 2 ∫ cos ⁡ u d u

∫ B x d x = μ 0 I 2 [ s e n   u ]

Onde agora os limites de integração vão de - π 2 até π 2 , pois:

∞ = a tan ⁡ u → u = π / 2

- ∞ = atan ⁡ u → u = - π / 2

Logo aplicando esse intervalo no resultado da integral nós teremos:

∫ B x d x = μ 0 I 2 s e n π 2 - s e n - π 2

∫ B x d x = μ 0 I 2 2 = μ o I

E é exatamente o que a lei de Ampere nos diz, então imaginando a superfície fechada como um eixo coordenado nós temos que a corrente que passa numa bobina circular gera um campo magnético total no espaço comentado igual a μ 0 I .

Resposta

∮ B . d x = μ 0 I

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