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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 81

Um cilindro de massa M e raio R possui uma densidade cresce linearmente a partir do seu eixo, p = ar, onde aé uma constante positiva, a) Calcule o momento de inércia do cilindro relação a um eixo longitudinal que passa através de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta é maior ou menor do momento de inércia de um cilindro com mesma massa e mesmo raio porém com densidade constante? Explique qualitativamente por que esse resultado faz sentido

Passo 1

Primeiramente, vamos lembrar que o momento de inércia é calculado pela seguinte integral:

I = ∫ r 2 d m

O que precisamos fazer é mudar a variável integrante da massa para o raio.

Consideremos a massa de uma casca cilíndrica, que está r afastada do centro do cilindro. Na seção transversal, esta peça tem um perímetro de comprimento P=2πr, e a espessura será dr, pois estamos considerando uma espessura fina - ou seja, infinitesimal. Vamos agora chamar o comprimento do cilindro de L. A partir disso, vamos escrever que o volume dessa casca cilíndrica será

d V = P ∙ d r ∙ L

Agora, levando em conta a densidade, temos

d m = ρ d V = α r d V

Combinando, obtemos a expressão para a massa da casca como

d m = 2 π α L r 2 d r  

Tendo encontrado uma maneira de mudar a variável, podemos escrever:

I = ∫ r 2 d m = ∫ r 2 ⋅ 2 π α L r 2 d r = 2 π α L ∫ r 4 d r

Passo 2

Antes de continuar, vamos notar que precisamos encontrar a parte da constante, 2 π α L , pois esses parâmetros não são fornecidos. É-nos dados, no entanto, que a massa total é M. A partir disso, podemos encontrar essa constante integrando para a massa:

M = ∫ 0 R d m = ∫ 0 R 2 π α L r 2 d r

M = 2 π α L R 3 3

2 π α L = 3 M R 3

I = 2 π α L 5 R 5

I = 3 M R 3 ∙ R 5 5

I = 3 5 M R 2

Resposta

I = 3 5 M R 2

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