Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 73
Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual é sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)
Passo 1
Como sugere a dica do exercício, abordaremos esse problema considerando o movimento do centro de massa. Este último será posicionado a uma distância R abaixo do ponto de suspensão. Se considerarmos que o centro de massa foi elevado por hh durante a distorção do equilíbrio por β, podemos escrever, a partir da conservação da energia, que
Claramente, o que estamos procurando é
Ou seja, precisamos encontrar a altura h e o momento de inércia, I, e então podemos resolver o problema.
Consideremos a seguinte geometria: um arco criado por um raio R, com um comprimento sendo vertical, e o ângulo sendo um pequeno β. Projetando a perna "levantada" para a vertical, vemos que essa projeção é Rcosβ. Portanto, a diferença de altura é
Passo 2
Agora, vamos considerar que o momento de inércia dessa montagem, aplicando o teorema dos eixos paralelos, será o de uma circunferência pelo seu centro mais a massa vezes a distância do eixo que passa pelo centro de massa até o ponto de pivô. Ou seja, no nosso caso, simplesmente
Substituindo nossos resultados na expressão para a velocidade angular, obtemos