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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 54

Um cilindro sólido não condutor, infinitamente longo, de raio a , tem densidade volumétrica não uniforme de cargas. Esta densidade varia linearmente com R , a distância perpendicular ao seu eixo de acordo com ρ R = β R onde β é uma constante. (a) Mostre que a densidade linear de carga do cilindro é dada por λ = 2 π β a 3 / 3 . (b) Determine expressões para o campo elétrico para R < a e R > a .

Passo 1

Fala ai galera. Então, aqui temos mais um caso de simetria cilíndrica. Porém, o cilindro não é uniformemente carregado, de modo que devemos aplicar a integração.

Passo 2

  1. Assim, temos que

    2. q = ∫ ρ   d V

    onde V = π r 2 h , de modo que d V = 2 π r h   d r . Logo,

    q = 2 π h ∫ ρ r   d r

    Substituindo ρ , temos

    q = 2 π h ∫ 0 a β r 2   d r = 2 π h β a 3 3

    Assim, sendo λ = q / h , temos

    λ = 2 π β a 3 3

    Passo 3

  2. Vamos utilizar a Lei de Gauss:
  • Para R < a , temos que:

    • ∮ E   d A = q i n t ε 0 E 2 π R h = λ h ε 0 E 2 π R = 2 π β R 3 3 ε 0 E = β R 2 3 ε 0

  • Para R > a , temos que:

∮ E   d A = q i n t ε 0 E 2 π R h = λ h ε 0 E 2 π R = 2 π β a 3 3 ε 0 E = β a 3 3 r ε 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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